Aplikované numerické metody

Garant předmětu:

Jan Pšikal

Přednášející:

Jan Pšikal, Pavel Váchal, Alena Zavadilová

Cvičící:

Jan Pšikal, Pavel Váchal, Alena Zavadilová

Předmět zajišťuje:

katedra laserové fyziky a fotoniky

Anotace:

Jsou vysvětleny základní principy numerické matematiky důležité pro numerické řešení fyzikálních a technických úloh. Vedle základních numerických úloh jsou zařazeny i problémy důležité pro fyziky (např. řešení obyčejných diferenciálních rovnic). Cvičení se konají v počítačové učebně s ukázkami různých numerických metod, jejich vlastností a aplikací.

Požadavky:

Podmínkou úspěšného absolvování předmětu je získaní dostatečného počtu bodů ze zápočtového testu, na hodnocení má vliv také řešení zadaných úloh během výukového období semestru.

Osnova přednášek:

1.Numerická matematika, chyba metody, reprezentace čísel v počítači, zaokrouhlovací chyba

2.Korektnost a podmíněnost úlohy, numerická stabilita, numerické knihovny

3.Řešení systémů lineárních rovnic - přímé metody

4.Řídké matice, interpolační metody řešení systémů lineárních rovnic; vlastní čísla a vektory

5.Interpolace a extrapolace, interpolace ve více dimenzích

6.Čebyševova aproximace, Čebyševovy polynomy, aproximace metodou nejmenších čtverců

7.Výpočet funkcí; třídění

8.Hledání kořenů nelineární rovnice a řešení systémů nelineárních rovnic

9.Hledání extrémů funkcí

10.Numerická integrace

11.Náhodná čísla a integrace metodou Monte Carlo

12.Obyčejné diferenciální rovnice - počáteční úloha, rovnice se silným tlumením („stiff“)

13.Obyčejné diferenciální rovnice - okrajová úloha

Osnova cvičení:

Cvičení se konají v počítačové učebně. Úlohy jsou řešeny převážně v Pythonu.

1. Reprezentace čísel v počítači, zakrouhlovací chyba a chyba metody, numerická stabilita

2. Řešení systémů lineárních rovnic - přímé metody, podmíněnost matice

3. Interpolační metody řešení systémů lineárních rovnic; vlastní čísla a vektory

4. Interpolace a extrapolace, kubický spline, Čebyševovy polynomy, aproximace metodou nejmenších čtverců

5. Hledání kořenů nelineární rovnice a řešení systémů nelineárních rovnic

6. Hledání extrémů funkcí

7. Numerická integrace

8. Obyčejné diferenciální rovnice - počáteční úloha

9. Obyčejné diferenciální rovnice - okrajová úloha

10. Představení řešení zadaných úloh studenty

Cíle studia:

Znalosti:

Základní principy numerické matematiky důležité pro numerické řešení fyzikálních a technických úloh včetně řešení obyčejných diferenciálních rovnic.

Schopnosti:

Používat numerickou matematiku k řešení praktických úloh a být schopen se vyvarovat nejběžnějších chyb.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] Z. Vospěl: Numerická analýza a programování II, Fakulta stavební ČVUT, 1992

Doporučená literatura:

[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky, Praha, Academia 1973

[3] M. Nekvinda, J. Šrubař, J. Vild: Úvod do numerické matematiky, Praha, SNTL 1976

[4] B.P.Demidovič, I.A. Maron: Základy numerické matematiky, Praha, SNTL 1966

Studijní pomůcky:

Počítačová laboratoř s programovacím jazykem Pascal a programem Matlab.

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2025/2026:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2025/2026:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Aplikace informatiky v přírodních vědách (povinný předmět programu)
• Aplikované matematicko-stochastické metody (povinný předmět programu)
• Jaderné inženýrství - Aplikovaná fyzika ionizujícího záření (PS)
• Aplikovaná informatika (volitelný předmět)
• Jaderná chemie (povinný předmět programu)
• Jaderné inženýrství - Jaderné reaktory (PS)
• Radiologická technika (povinný předmět programu)
• jaderné inženýrství - Radioaktivita v životním prostředí (PS)
• Vyřazování jaderných zařízení z provozu (povinný předmět programu)