Matematika pro kryptologii

Garant předmětu:

Róbert Lórencz

Přednášející:

Martin Jureček

Cvičící:

Martin Jureček, Olha Jurečková, Ivana Trummová

Předmět zajišťuje:

katedra informační bezpečnosti

Anotace:

Studenti získají hlubší znalosti o algebraických postupech řešících nejdůležitější matematické problémy, na kterých je založena bezpečnost šifer. Zejména se jedná o problém řešení soustavy polynomiálních rovníc nad konečným tělesem, problém faktorizace velkých čísel a problém diskrétního logaritmu. Problém faktorizace bude speciálně řešen i na eliptických křivkách. Studenti se rovnež seznámí s moderními šifrovacími systémy založenými na počítání na mřížce.

Požadavky:

Dobrá znalost obecné a lineární algebry a základů teorie čísel (BI-LIN, BI-ZDM, NI-MPI).

Osnova přednášek:

1. Ideály v okruzích, faktorokruh, okruhy polynomů.

2. Rozšíření konečných těles a volby bází v nich.

3. Řešení algebraických rovnic nad konečnými tělesy: relinearizace, XL a XSL algoritmy

4. Řešení algebraických rovnic nad konečnými tělesy: převod na SAT problém a metody řešící tento problém

5. Gröbnerovy báze, Buchbergerův algoritmus, Faugèreův F4 algoritmus.

6. Faktorizace: Pollardova rho metoda, p-1 metoda, Fermatova faktorizace.

7. Faktorizace: síťové metody.

8. Diskrétní logaritmus: Pohligův-Hellmanův algoritmus, Babystep-giantstep algoritmus, Pollardova rho metoda.

9. Diskrétní logaritmus: Index calculus.

10. Eliptické křivky nad reálnými čísly a Galoisovými tělesy.

11. ECDLP, faktorizace pomocí eliptických křivek.

12. Kryptografie na mřížce, šifrovací systém GGH.

13. Ortogonalizace a redukce, šifrovací systém NTRU.

Osnova cvičení:

Cvičení se budou prolínat s přednáškou. Teoretické poznatky z přednášky budou osvětleny na konkrétních příkladech.

Cíle studia:

Studijní materiály:

1. Katz, J. - Lindell, Y. : Introduction to modern cryptography. CRC press, 2014. ISBN 978-1466570269.

2. Hoffstein, J. - Pipher, J. - Silverman, J. H. : An Introduction to Mathematical Cryptography. Springer, 2008. ISBN 978-1441926746.

3. Lidl, R. - Niederreiter, H. : Finite Fields. Cambridge University Press, 2008. ISBN 978-0521065672.

4. Menezes, A. J. - van Oorschot, P. C. - Vanstone, S. A. : Handbook of Applied Cryptography. CRC Press, 1996. ISBN 0-8493-8523-7.

Poznámka:

Informace o předmětu a výukové materiály naleznete na https://courses.fit.cvut.cz/MI-MKY/

Další informace:

https://courses.fit.cvut.cz/NI-MKY/

Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Mgr. specializace Počítačová bezpečnost, 2020 (PS)
• Mgr. specializace Návrh a programování vestavných systémů, 2020 (volitelný předmět)
• Mgr. specializace Počítačové systémy a sítě, 2020 (volitelný předmět)
• Mgr. specializace Manažerská informatika, 2020 (volitelný předmět)
• Mgr. specializace Softwarové inženýrství, 2020 (volitelný předmět)
• Mgr. specializace Systémové programování, verze od 2020 (volitelný předmět)
• Mgr. specializace Webové inženýrství, 2020 (volitelný předmět)
• Mgr. specializace Znalostní inženýrství, 2020 (volitelný předmět)
• Mgr. specializace Teoretická informatika, 2020 (volitelný předmět)
• Mgr. program, pro fázi studia bez specializace, ver. pro roky 2020 a vyšší (VO)
• Master Specialization Digital Business Engineering, 2023 (VO)
• Mgr. specializace Systémové programování, verze od 2023 (volitelný předmět)
• Mgr. specializace Teoretická informatika, 2023 (volitelný předmět)