Mathematics for Cryptology

Garant předmětu:

Róbert Lórencz

Přednášející:

Martin Jureček, Róbert Lórencz

Cvičící:

Martin Jureček, Olha Jurečková, Ivana Trummová

Předmět zajišťuje:

katedra informační bezpečnosti

Anotace:

Studenti získají hlubší znalosti o algebraických postupech řešících nejdůležitější matematické problémy, na kterých je založena bezpečnost šifer. Zejména se jedná o problém řešení soustavy polynomiálních rovníc nad konečným tělesem, problém faktorizace velkých čísel a problém diskrétního logaritmu. Problém faktorizace bude speciálně řešen i na eliptických křivkách. Studenti se rovnež seznámí s moderními šifrovacími systémy založenými na počítání na mřížce.

Požadavky:

Dobrá znalost obecné a lineární algebry a základů teorie čísel (BI-LIN, BI-ZDM, NI-MPI).

Osnova přednášek:

1. Grupy - základní vlastnosti

2. Faktorgrupy, cyklické grupy

3. Ideály v okruzích

4. Faktorokruhy

5. Polynomiální kruhy

6. Rozšíření konečných těles

7. Řešení algebraických rovnic nad konečnými tělesy: relinearizace, XL a XSL algoritmy

8. Gröbnerovy báze, Buchbergerův algoritmus

9. Faktorizace: Pollardova rho metoda, p-1 metoda, Fermatova faktorizace.

10. Faktorizace: síťové metody.

11. Diskrétní logaritmus: Pohligův-Hellmanův algoritmus, Babystep-giantstep algoritmus, Pollardova rho metoda.

12. Diskrétní logaritmus: Index calculus.

13. Eliptické křivky - základní vlastnosti

14. Eliptické křivky nad reálnými čísly a Galoisovými tělesy.

15. ECDLP, faktorizace pomocí eliptických křivek.

16. Menezes-Okamoto-Vanston algoritmus

17. Kryptografie na mřížce, šifrovací systém GGH.

18. Ortogonalizace a redukce, šifrovací systém NTRU.

Osnova cvičení:

Cvičení se budou prolínat s přednáškou. Teoretické poznatky z přednášky budou osvětleny na konkrétních příkladech.

Cíle studia:

Studijní materiály:

1. Katz, J. - Lindell, Y. : Introduction to modern cryptography. CRC press, 2014. ISBN 978-1466570269.

2. Hoffstein, J. - Pipher, J. - Silverman, J. H. : An Introduction to Mathematical Cryptography. Springer, 2008. ISBN 978-1441926746.

3. Lidl, R. - Niederreiter, H. : Finite Fields. Cambridge University Press, 2008. ISBN 978-0521065672.

4. Menezes, A. J. - van Oorschot, P. C. - Vanstone, S. A. : Handbook of Applied Cryptography. CRC Press, 1996. ISBN 0-8493-8523-7.

Poznámka:

Informace o předmětu a výukové materiály naleznete na https://courses.fit.cvut.cz/MI-MKY/

Další informace:

https://courses.fit.cvut.cz/NIE-MKY/

Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Master specialization Software Engineering, in English, 2021 (volitelný předmět)
• Master specialization Computer Security, in English, 2021 (PS)
• Master specialization Computer Systems and Networks, in English, 2021 (volitelný předmět)
• Master specialization Design and Programming of Embedded Systems, in English, 2021 (volitelný předmět)
• Master specialization Computer Science, in English, 2021 (VO)
• Master specialization Computer Science, in English, 2024 (VO)