Funkce komplexní proměnné

Garant předmětu:

Pavel Šťovíček

Přednášející:

Severin Pošta, Pavel Šťovíček

Cvičící:

Severin Pošta, Pavel Šťovíček

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Přednáška začíná přehledem o Jordanova větě o křivce a o Riemannově-Stieltjesově integrálu. Potom se podrobně rozebírají základní výsledky analýzy v komplexním oboru v jedné proměnné: derivace a Cauchyovy-Riemannovy rovnice, holomorfní a analytické funkce, index bodu vzhledem k uzavřené křivce, Cauchyova věta, Morerova věta, kořeny holomorfních funkcí, analytické prodloužení, izolované singularity, princip maxima modulu, Liouvilleova věta, Cauchyovy odhady, Laurentovy řady, reziduová věta.

Požadavky:

Úplný základní kurz matematické analýzy na FJFI na úrovni matematiky A nebo B.

Osnova přednášek:

1. Souvislé, křivkově souvislé a jednoduše souvislé množiny, Jordanova věta o křivce (přehled)

2. Variace funkce, délka křivky, Riemannův-Stieltjesův integrál (přehled)

3. Derivace komplexní funkce podle komplexní proměnné, Cauchyovy-Riemannovy podmínky

4. Holomorfní funkce, mocninné řady, analytické funkce

5. Regulární křivky, integrál funkce podél křivky, index bodu vzhledem k uzavřené křivce

6. Cauchyova věta pro trojúhelník

7. Cauchyova formule pro konvexní množiny, vztah mezi holomorfními a analytickými funkcemi, Morerova věta

8. Kořeny holomorfních funkcí, analytické prodloužení

9. Izolované singularity

10. Princip maxima modulu, Liouvilleova věta

11. Cauchyovy odhady, stejnoměrná konvergence holomorfních funkcí

12. Cauchyova věta (obecné znění), homotopie

13. Laurentovy řady

14. Reziduová věta

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Znalosti: Jordanova větě o křivce, zavedení Riemannova-Stieltjesova integrál, základní výsledky analýzy v komplexním oboru v jedné proměnné.

Schopnosti: práce s holomorfními funkcemi, aplikace při výpočtu integrálů.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] W. Rudin, Reálná a komplexní analýza, Academia Praha, 2003

Doporučená literatura:

[2] J. Veselý: Komplexní analýza pro učitele, Karolinum, UK Praha, 2000

[3] J. B. Conway: Functions of One Complex Variable I, Springer-Verlag, New York, 1978

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Aplikovaná algebra a analýza (povinný předmět programu)
• Aplikované matematicko-stochastické metody (volitelný předmět)
• Fyzikální inženýrství - Inženýrství pevných látek (volitelný předmět)
• Jaderná a částicová fyzika (volitelný předmět)
• Fyzikální inženýrství - Laserová technika a fotonika (volitelný předmět)
• Matematické inženýrství - Matematická fyzika (PS)
• Matematické inženýrství - Matematická informatika (PS)
• Matematické inženýrství - Matematické modelování (PS)
• Kvantové technologie (volitelný předmět)
• Kvantové technologie (volitelný předmět)
• Jaderná a částicová fyzika (volitelný předmět)
• Matematické inženýrství - Matematická fyzika (PS)