Logo ČVUT
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
STUDIJNÍ PLÁNY
2024/2025

Numerická matematika

Předmět není vypsán Nerozvrhuje se
Kód Zakončení Kredity Rozsah Jazyk výuky
2011049 Z,ZK 4 2P+2C česky
Garant předmětu:
Přednášející:
Cvičící:
Předmět zajišťuje:
ústav technické matematiky
Anotace:

Numerické řešení soustav lineárních rovnic, klasické iterační metody a

gradientní metoda. Numerické řešení nelineárních algebraických rovnic. Metoda

nejmenších čtverců. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic,

počáteční a okrajová úloha. Numerické řešení základních lineárních parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí.

Požadavky:

Numerické řešení soustav lineárních rovnic, klasické iterační metody a

gradientní metoda. Numerické řešení nelineárních algebraických rovnic. Metoda

nejmenších čtverců. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic,

počáteční a okrajová úloha. Numerické řešení základních lineárních parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí.

Osnova přednášek:

• Gaussova eliminace a LU rozklad. Princip iteračních metod. Normy a spektrální poloměr matice.

• Prostá a Jacobiova iterační metoda, Gaussova–Seidelova iterační metoda, podmínky konvergence.

• Soustavy nelineárních rovnic. Existence a jednoznačnost řešení. Iterační metody – Newtonova metoda.

• Numerické řešení Cauchyovy úlohy pro rovnici 1.řádu a pro soustavu v normálním tvaru.

• Cauchyova úloha pro rovnici n–tého řádu jako speciální případ. Princip jednokrokových metod typu Runge–Kutty.

• Eulerova metoda 1. řádu a metody typu Runge-Kutty 2. řádu. Praktické použití metod.

• Problematika řešení okrajových úloh pro obyčejnou lineární diferenciální rovnici 2. řádu, porovnání s Cauchyovou úlohou. Existence a jednoznačnost řešení. Numerické řešení Dirichletovy úlohy. Princip metody sítí, konvergence metody.

• Numerické řešení lineárních parciálních diferenciálních rovnic 2.řádu dvou nezávisle proměnných metodou sítí.

• Klasifikace rovnic. Formulace základních úloh pro rovnice matematické fyziky (Laplace a Poisson, vedení tepla a vlnová rovnice)

• Diferenční náhrady prvé a druhé derivace funkce, řád aproximace.

• Princip metody sítí pro řešení jednotlivých typů úloh. Explicitní schéma pro rovnici vedení tepla a pro vlnovou rovnici.

Osnova cvičení:

1. Normy vektorů a matic. Matice ostře diagonálně dominantní (ODD) a symetrická pozitivně

definitní (SPD). Vlastní čísla a vektory matice, spektrální poloměr.

2. Prostá iterační metoda. Podmínky konvergence, výpočet postupných aproximací.

3. Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda. Podmínky konvergence, výpočet postupných

aproximací.

4. Aproximace metodou nejmenších čtverců.

5. Soustavy nelineárních rovnic. Newtonova metoda.

6. Cauchyova úloha pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Numerická aproximace

explicitní a implicitní Eulerovou metodou.

7. Cauchyova úloha pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Numerická aproximace

pomocí jednokrokových metod Runge-Kutta. Collatzova metoda.

8. Numerická aproximace vybraných úloh z technické praxe. Použití jednokrokových metod

Runge-Kutta. Collatzova metoda a metody vyššího řádu.

9. Okrajová úloha pro obyčejnou lineární diferenciální rovnice 2. řádu v samoadjungovaném

tvaru. Metoda sítí

.

10. Dirichletova okrajová úloha pro Poissonovu rovnici a její aproximace metodou sítí.

11. Smíšená úloha pro rovnici vedení tepla. Numerické řešení metodou sítí explicitním a

implicitním schématem.

12. Smíšená úloha pro vlnovou rovnici. Numerické řešení metodou sítí explicitním a implicitním

schématem.

Cíle studia:

Numerické řešení soustav lineárních rovnic, klasické iterační metody a

gradientní metoda. Numerické řešení nelineárních algebraických rovnic. Metoda

nejmenších čtverců. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic,

počáteční a okrajová úloha. Numerické řešení základních lineárních parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí.

Studijní materiály:

1. Benda, J., Černá, R.: Numerická matematika, doplňkové skriptum, FS ČVUT v Praze, 1991

2. Vitásek, F.: Numerické metody, SNTL, Praha, 1987

Poznámka:
Další informace:
Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje
Předmět je součástí následujících studijních plánů:
Platnost dat k 19. 4. 2024
Aktualizace výše uvedených informací naleznete na adrese https://bilakniha.cvut.cz/cs/predmet10509002.html