Numerická matematika

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

ústav technické matematiky

Anotace:

Numerické řešení soustav lineárních rovnic, klasické iterační metody a

gradientní metoda. Numerické řešení nelineárních algebraických rovnic. Metoda

nejmenších čtverců. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic,

počáteční a okrajová úloha. Numerické řešení základních lineárních parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí.

Požadavky:

Numerické řešení soustav lineárních rovnic, klasické iterační metody a

gradientní metoda. Numerické řešení nelineárních algebraických rovnic. Metoda

nejmenších čtverců. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic,

počáteční a okrajová úloha. Numerické řešení základních lineárních parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí.

Osnova přednášek:

Gaussova eliminace a LU rozklad. Princip iteračních metod. Normy a spektrální poloměr matice.

Prostá a Jacobiova iterační metoda, GaussovaSeidelova iterační metoda, podmínky konvergence.

Soustavy nelineárních rovnic. Existence a jednoznačnost řešení. Iterační metody Newtonova metoda.

Numerické řešení Cauchyovy úlohy pro rovnici 1.řádu a pro soustavu v normálním tvaru.

Cauchyova úloha pro rovnici ntého řádu jako speciální případ. Princip jednokrokových metod typu RungeKutty.

Eulerova metoda 1. řádu a metody typu Runge-Kutty 2. řádu. Praktické použití metod.

Problematika řešení okrajových úloh pro obyčejnou lineární diferenciální rovnici 2. řádu, porovnání s Cauchyovou úlohou. Existence a jednoznačnost řešení. Numerické řešení Dirichletovy úlohy. Princip metody sítí, konvergence metody.

Numerické řešení lineárních parciálních diferenciálních rovnic 2.řádu dvou nezávisle proměnných metodou sítí.

Klasifikace rovnic. Formulace základních úloh pro rovnice matematické fyziky (Laplace a Poisson, vedení tepla a vlnová rovnice)

Diferenční náhrady prvé a druhé derivace funkce, řád aproximace.

Princip metody sítí pro řešení jednotlivých typů úloh. Explicitní schéma pro rovnici vedení tepla a pro vlnovou rovnici.

Osnova cvičení:

1. Normy vektorů a matic. Matice ostře diagonálně dominantní (ODD) a symetrická pozitivně

definitní (SPD). Vlastní čísla a vektory matice, spektrální poloměr.

2. Prostá iterační metoda. Podmínky konvergence, výpočet postupných aproximací.

3. Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda. Podmínky konvergence, výpočet postupných

aproximací.

4. Aproximace metodou nejmenších čtverců.

5. Soustavy nelineárních rovnic. Newtonova metoda.

6. Cauchyova úloha pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Numerická aproximace

explicitní a implicitní Eulerovou metodou.

7. Cauchyova úloha pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Numerická aproximace

pomocí jednokrokových metod Runge-Kutta. Collatzova metoda.

8. Numerická aproximace vybraných úloh z technické praxe. Použití jednokrokových metod

Runge-Kutta. Collatzova metoda a metody vyššího řádu.

9. Okrajová úloha pro obyčejnou lineární diferenciální rovnice 2. řádu v samoadjungovaném

tvaru. Metoda sítí

.

10. Dirichletova okrajová úloha pro Poissonovu rovnici a její aproximace metodou sítí.

11. Smíšená úloha pro rovnici vedení tepla. Numerické řešení metodou sítí explicitním a

implicitním schématem.

12. Smíšená úloha pro vlnovou rovnici. Numerické řešení metodou sítí explicitním a implicitním

schématem.

Cíle studia:

Numerické řešení soustav lineárních rovnic, klasické iterační metody a

gradientní metoda. Numerické řešení nelineárních algebraických rovnic. Metoda

nejmenších čtverců. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic,

počáteční a okrajová úloha. Numerické řešení základních lineárních parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí.

Studijní materiály:

1. Benda, J., Černá, R.: Numerická matematika, doplňkové skriptum, FS ČVUT v Praze, 1991

2. Vitásek, F.: Numerické metody, SNTL, Praha, 1987

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• 10 62 67 00 BTZI 2012 P základ (povinný předmět programu)
• 11 68 73 00 BTZI 2012 K základ (povinný předmět programu)
• 02 26 31 34 BSTR EPT 2012 P základ (povinný předmět programu)
• 03 26 31 36 BSTR IAT 2012 P základ (povinný předmět programu)
• 04 26 31 38 BSTR KPP 2012 P základ (povinný předmět programu)
• 06 40 45 48 BSTR EPT 2012 K základ (povinný předmět programu)
• 07 40 45 50 BSTR IAT 2012 K základ (povinný předmět programu)
• 08 40 45 52 BSTR KPP 2012 K základ (povinný předmět programu)
• 05 40 45 46 BSTR TZP 2012 K základ (povinný předmět programu)
• 05 40 45 46 DSTR TZP 2012 K základ (povinný předmět programu)
• 06 40 45 48 DSTR EPT 2012 K základ (povinný předmět programu)
• 07 40 45 50 DSTR IAT 2012 K základ (povinný předmět programu)
• 08 40 45 52 DSTR KPP 2012 K základ (povinný předmět programu)
• 10 62 67 00 DTZI 2012 P základ (povinný předmět programu)
• 11 68 73 00 DTZI 2012 K základ (povinný předmět programu)