Univerzální principy mechaniky
| Kód | Zakončení | Kredity | Rozsah | Jazyk výuky |
|---|---|---|---|---|
| 132YUPM | Z,ZK | 4 | 2P+1C | česky |
- Garant předmětu:
- Milan Jirásek
- Přednášející:
- Milan Jirásek
- Cvičící:
- Milan Jirásek
- Předmět zajišťuje:
- katedra mechaniky
- Anotace:
-
Tenzory, diferenciální operátory a jejich využití v mechanice, Gaussova a Greenova věta. Obecná struktura základních rovnic lineární a nelineární statiky, energie a dualita. Princip virtuálních prací (výkonů), variační principy (Lagrange, Castigliano, Hellinger-Reissner, Hu-Washizu) a jejich využití při popisu spojitých a diskrétních modelů prutových, deskových, stěnových a prostorových konstrukcí.
- Požadavky:
- Osnova přednášek:
-
1. Vektorové prostory, skalární součin – opakování znalostí z matematiky. Lineární, bilineární a multilineární formy, tenzory.
2. Operace s tenzory - přímý (vnější, tenzorový) součin, jednoduchá a dvojitá kontrakce.
3. Deformační gradient, deformační tenzor, tenzor deformace. Rozklad tenzoru 2. řádu na kulovou a deviatorickou část, jednotkové tenzory 4. řádu, projekční tenzory.
4. Napětí jako tenzor 2. řádu, Hookeův zákon v tenzorovém zápisu, tenzory pružné tuhosti a pružné poddajnosti. Gradient a divergence, operátor nabla, symetrický gradient, tenzor (malé) deformace, tenzorový zápis geometrických rovnic. Základní věta integrálního počtu, integrace per partes, Greenova a Gaussova věta v různých podobách.
5. Přehled základních rovnic pružnosti v tenzorovém zápisu, statické a geometrické okrajové podmínky, Laméovy rovnice. Použití Gaussovy věty při odvození Clapeyronovy věty. Práce vnitřních a vnějších sil, obecný princip virtuálních prací a jeho speciální podoby – princip virtuálních posunů a princip virtuálních sil.
6. Potenciální energie deformace pružiny a taženého-tlačeného prutu, hustota potenciální energie deformace pro lineárně pružný materiál za jednoosé a obecné napjatosti. Stabilní a nestabilní rovnováha, Lagrangeův princip minima potenciální energie pro jednoduché konzervativní soustavy (pružina se závažím). Potenciální energie zatížení, celková potenciální energie pružného tělesa se zatížením. Vyšetřování minima potenciální energie.
7. Diskrétní lineárně pružné soustavy – základní rovnice v maticovém zápisu, potenciální energie, použití Lagrangeova principu a jeho souvislost s principem virtuálních posunutí, dualita geometrických a statických rovnic. Jednorozměrný model pro tažený-tlačený prut, základní rovnice a potenciální energie, použití Lagrangeova principu a jeho souvislost s principem virtuálních posunutí, první a druhá variace (lineární a kvadratická část přírůstku). Matematická definice variace funkcionálu, Gâteauxův diferenciál, Fréchetův diferenciál.
8. Castiglianův princip minima doplňkové energie a jeho souvislost s principem virtuálních sil.
9. Hellingerův-Reissnerův princip a jeho použití při formulaci smíšených konečných prvků (u-p formulace, využití pro nestlačitelné nebo téměř nestlačitelné materiály).
10. Obecný variační princip Hu-Washizu a jeho použití při formulaci smíšených konečných prvků. Souvislosti mezi probranými variačními principy.
11. Obecný popis (velké) deformace, deformační gradient, pravý Cauchyho-Greenův deformační tenzor, polární rozklad, tenzory deformace, jakobián, objemové a tvarové změny, prostorový gradient pole rychlostí a jeho rozklad na rychlost deformace a spin.
12. Tenzory napětí (Cauchyho tenzor, první a druhý Piolův-Kirchhoffův tenzor). Princip virtuálních prací pro velké deformace. Podmínky rovnováhy, statické okrajové podmínky, názorný význam tenzorů napětí. Hyperelastické materiálové modely, potenciál volné energie, Lagrangeův princip pro velké deformace.
- Osnova cvičení:
-
1. Vektorové prostory, skalární součin – opakování znalostí z matematiky. Lineární, bilineární a multilineární formy, tenzory.
2. Operace s tenzory - přímý (vnější, tenzorový) součin, jednoduchá a dvojitá kontrakce.
3. Deformační gradient, deformační tenzor, tenzor deformace. Rozklad tenzoru 2. řádu na kulovou a deviatorickou část, jednotkové tenzory 4. řádu, projekční tenzory.
4. Napětí jako tenzor 2. řádu, Hookeův zákon v tenzorovém zápisu, tenzory pružné tuhosti a pružné poddajnosti. Gradient a divergence, operátor nabla, symetrický gradient, tenzor (malé) deformace, tenzorový zápis geometrických rovnic. Základní věta integrálního počtu, integrace per partes, Greenova a Gaussova věta v různých podobách.
5. Přehled základních rovnic pružnosti v tenzorovém zápisu, statické a geometrické okrajové podmínky, Laméovy rovnice. Použití Gaussovy věty při odvození Clapeyronovy věty. Práce vnitřních a vnějších sil, obecný princip virtuálních prací a jeho speciální podoby – princip virtuálních posunů a princip virtuálních sil.
6. Potenciální energie deformace pružiny a taženého-tlačeného prutu, hustota potenciální energie deformace pro lineárně pružný materiál za jednoosé a obecné napjatosti. Stabilní a nestabilní rovnováha, Lagrangeův princip minima potenciální energie pro jednoduché konzervativní soustavy (pružina se závažím). Potenciální energie zatížení, celková potenciální energie pružného tělesa se zatížením. Vyšetřování minima potenciální energie.
7. Diskrétní lineárně pružné soustavy – základní rovnice v maticovém zápisu, potenciální energie, použití Lagrangeova principu a jeho souvislost s principem virtuálních posunutí, dualita geometrických a statických rovnic. Jednorozměrný model pro tažený-tlačený prut, základní rovnice a potenciální energie, použití Lagrangeova principu a jeho souvislost s principem virtuálních posunutí, první a druhá variace (lineární a kvadratická část přírůstku). Matematická definice variace funkcionálu, Gâteauxův diferenciál, Fréchetův diferenciál.
8. Castiglianův princip minima doplňkové energie a jeho souvislost s principem virtuálních sil.
9. Hellingerův-Reissnerův princip a jeho použití při formulaci smíšených konečných prvků (u-p formulace, využití pro nestlačitelné nebo téměř nestlačitelné materiály).
10. Obecný variační princip Hu-Washizu a jeho použití při formulaci smíšených konečných prvků. Souvislosti mezi probranými variačními principy.
11. Obecný popis (velké) deformace, deformační gradient, pravý Cauchyho-Greenův deformační tenzor, polární rozklad, tenzory deformace, jakobián, objemové a tvarové změny, prostorový gradient pole rychlostí a jeho rozklad na rychlost deformace a spin.
12. Tenzory napětí (Cauchyho tenzor, první a druhý Piolův-Kirchhoffův tenzor). Princip virtuálních prací pro velké deformace. Podmínky rovnováhy, statické okrajové podmínky, názorný význam tenzorů napětí. Hyperelastické materiálové modely, potenciál volné energie, Lagrangeův princip pro velké deformace.
- Cíle studia:
-
Studenti se seznámí s podstatou tenzorů a naučí se provádět tenzorové operace s aplikacemi v mechanice. Seznámí se také s celou řadou variačních principů pro spojité i diskrétní mechanické modely.
- Studijní materiály:
-
Povinná literatura:
1. Studijní text vytvořený přednášejícím
2. Bittnar Z., Šejnoha J.: Numerické metody mechaniky 1, 2, Vydavatelství ČVUT, Praha 1992
3. Jirásek M., Bažant, Z.P.: Inelastic Analysis of Structures, Wiley 2001.
Doporučená literatura:
4. M. Itskov: Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers, Springer 2013
5. D. A. Danielson: Vectors and Tensors in Engineering and Physics, 2d ed., Westview Press 2003
- Poznámka:
- Další informace:
- https://mech.fsv.cvut.cz/cgi-bin/homeworks/student/student-identification?course=YUPM
- Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:
- Rozvrh není připraven
- Rozvrh na letní semestr 2024/2025:
-
06:00–08:0008:00–10:0010:00–12:0012:00–14:0014:00–16:0016:00–18:0018:00–20:0020:00–22:0022:00–24:00
Po Út St Čt Pá - Předmět je součástí následujících studijních plánů:
-
- Stavební Inženýrství - konstrukce a dopravní stavby, specializace Inženýrské konstrukce (povinně volitelný předmět)
- Stavební Inženýrství - konstrukce a dopravní stavby, specializace Dopravní stavby a geotechnika (povinně volitelný předmět)
- Stavební inženýrství - pozemní stavby, specializace Projektování pozemních staveb (povinně volitelný předmět)
- Stavební inženýrství - pozemní stavby, specializace Statika pozemních staveb (povinně volitelný předmět)