Lineární algebra

Garant předmětu:

Martina Bečvářová

Přednášející:

Martina Bečvářová, Lucie Kárná, Pavel Provinský

Cvičící:

Martina Bečvářová, Lucie Kárná, Pavel Provinský

Předmět zajišťuje:

ústav aplikované matematiky

Anotace:

Vektorové prostory (lineární kombinace vektorů, závislost vektorů, dimenze, báze, souřadnice). Matice a maticové operace. Soustavy lineárních rovnic a jejich řešení. Determinanty a jejich aplikace. Skalární součin vektorů. Podobnost matic (vlastní čísla a vlastní vektory). Kvadratické formy a jejich klasifikace.

Požadavky:

základy středoškolské matematiky

Osnova přednášek:

1. Vektorový prostor nad tělesem R a C, příklady prostorů. Podprostory vektorového prostoru, příklady podprostorů. Lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost vektorů, příklady. Průnik a spojení podprostorů.

2. Generátory vektorového prostoru, lineární obal množiny vektorů, dimenze a báze vektorového prostoru. Souřadnice vektoru vzhledem k bázi. Transformace souřadnic.

3. Matice. Základní maticové operace a jejich vlastnosti. Transponování matic. Speciální typy matic a jejich vlastnosti (diagonální, trojúhelníková, symetrická, antisymetrická, hermitovská). Vektorový prostor matic. Matice jako lineární zobrazení.

4. Elementární transformační úpravy. Hodnost matice. Matice singulární, regulární, inverzní matice. Výpočet inverzní matice.

5. Soustava lineárních homogenních rovnic. Struktura řešení. Soustava nehomogenních lineárních rovnic. Existence řešení. Struktura řešení. Gaussova eliminační metoda. Soustavy lineárních rovnic s parametry a jejich řešitelnost. Maticové rovnice.

6. Determinant. Definice determinantu, vlastnosti determinantu. Základní metody výpočtu determinantu. Rozvoj determinantu.

7. Užití determinantů. Cramerovo pravidlo, výpočet inverzní matice, hodnosti matice, obsahu rovnoběžníku, objemu čtyřstěnu a rovnoběžnostěnu. Příklady.

8. Skalární součin vektorů, velikost vektoru, úhel vektorů. Ortogonální a ortonormální báze. Ortogonalizační proces. Ortogonální matice. Vektorový součin. Příklady použití skalárního a vektorového součinu v analytické geometrii.

9. Podobnost matic, vlastní čísla, vlastní vektory, zobecněné vlastní vektory. Řešení vzorových příkladů.

10. Transformační matice. Jordanova buňka, Jordanův kanonický tvar. Řešení vzorových pří-klady.

11. Kvadratické formy. Maticová reprezentace. Vyjádření vzhledem k normální bázi. Symetrické úpravy matic. Řešení vzorových příkladů.

12. Klasifikace forem, signatura formy, zákon setrvačnosti. Metody klasifikace forem v reálném oboru (symetrické úpravy, metoda hlavních horních minorů, transformace). Řešení vzorových příkladů.

Osnova cvičení:

1. Příklady vektorových prostorů a podprostorů. Lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost vektorů.

2. Generátory vektorového prostoru, dimenze a báze vektorového prostoru. Souřadnice vektoru vzhledem k bázi.

3. Matice, operace s maticemi. Transponování matic. Elementární transformační úpravy. Hodnost matice. Speciální typy matic a jejich vlastnosti.

4. Inverzní matice. Maticové rovnice.

5. Soustava lineárních homogenních rovnic. Soustava nehomogenních lineárních rovnic. Gaussova eliminační metoda. Soustavy lineárních rovnic s parametry a jejich řešitelnost.

6. Metody výpočtu determinantu. Cramerovo pravidlo, výpočet inverzní matice, obsah rovnoběžníku, objem čtyřstěnu a rovnoběžnostěnu.

Vzorové příklady k látce z přednáškových bodů 9 až 12 budou probírány na přednáškách.

Cíle studia:

Osvojení základních pojmů a metod lineární algebry a jejich aplikace při řešení standardních příkladů.

Studijní materiály:

J. Nagy, J. Taufer, Algebra, ČVUT, Praha, 1997, skriptum FD ČVUT.

J. Bečvář, Lineární algebra, Matfyzpress, Praha, 2000.

L. Motl, M. Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, UK, Karolinum, Praha, 1995.

http://www.fd.cvut.cz/personal/becvamar/Linearni%20algebra.html.

Poznámka:

Další informace:

https://www.fd.cvut.cz/personal/becvamar/Linearni%20algebra.html

Rozvrh na zimní semestr 2023/2024:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2023/2024:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• bak.prez.10/11 (povinný předmět)
• PIL bak.prez.10/11 (povinný předmět)
• TUL bak.prez.10/11 (povinný předmět)
• MED bak.komb.10/11 (povinný předmět)
• MED bak.komb.11/12 (povinný předmět)
• PIL bak.prez.11/12 (povinný předmět)
• bak.prez.11/12 (povinný předmět)
• TUL bak.prez.11/12 (povinný předmět)
• AUT bak.prez.11/12 (povinný předmět)
• DOS bak.prez.11/12 (povinný předmět)
• ITS bak.prez.11/12 (povinný předmět)
• LED bak.prez.11/12 (povinný předmět)
• MED bak.prez.11/12 (povinný předmět)
• bak.prez.12/13 (povinný předmět)
• MED bak.komb.12/13 (povinný předmět)
• PIL bak.prez.12/13 (povinný předmět)
• TUL bak.prez.12/13 (povinný předmět)
• AUT bak. prez.12/13 (povinný předmět)
• DOS bak.prez.12/13 (povinný předmět)
• MED bak.prez.12/13 (povinný předmět)
• ITS bak.prez.12/13 (povinný předmět)
• LED bak.prez.12/13 (povinný předmět)
• PIL bak.prez.13/14 (povinný předmět)
• TUL bak.prez.13/14 (povinný předmět programu)
• bak.prez.13/14 (povinný předmět)
• MED bak.komb.13/14 (povinný předmět)
• AUT bak.prez.13/14 (povinný předmět)
• DOS bak.prez.13/14 (povinný předmět)
• ITS bak.prez.13/14 (povinný předmět)
• LED bak.prez.13/14 (povinný předmět)
• MED bak.prez.13/14 (povinný předmět)
• DOS bak.prez.13/14 (SKOK) (povinný předmět)
• LED bak.prez.13/14 (SKOK) (povinný předmět)
• MED bak.prez.13/14 (SKOK) (povinný předmět)
• bak.prez.14/15 (povinný předmět)
• PIL bak.prez.14/15 (povinný předmět)
• TUL bak.prez.14/15 (povinný předmět programu)
• DOS bak.prez.14/15 (povinný předmět)
• MED bak.prez.14/15 (povinný předmět)
• AUT bak.prez.14/15 (povinný předmět)
• ITS bak.prez.14/15 (povinný předmět)
• LED bak.prez.14/15 (povinný předmět)
• bak.prez.od 15/16 (povinný předmět)
• PIL bak.prez.15/16 (povinný předmět)
• TUL bak.prez.15/16 (povinný předmět programu)
• DOS bak.prez.15/16 (povinný předmět)
• MED bak.prez.15/16 (povinný předmět)
• AUT bak.prez.15/16 (povinný předmět)
• ITS bak.prez.15/16 (povinný předmět)
• LED bak.prez.15/16 (povinný předmět)
• BEZ bak.prez.15/16 (povinný předmět)
• bak.prez.od 16/17 - v 1.sem. si NEZAPSALI 14DB (povinný předmět)
• PIL bak.prez.16/17 (povinný předmět)
• TUL bak.prez.16/17 (povinný předmět programu)
• DOS bak.prez.16/17 (povinný předmět)
• LOG bak.prez.16/17 (povinný předmět)
• ITS bak.prez.16/17 (povinný předmět)
• LED bak.prez.16/17 (povinný předmět)
• BEZ bak.prez.16/17 (povinný předmět)
• bak.prez.od 17/18 (povinný předmět)
• bak.prez.od 16/17 - v 1.sem. si ZAPSALI 14DB (povinný předmět)
• PIL bak.prez.17/18 (povinný předmět)
• TUL bak.prez.17/18 (v 2017-18 si NEzapsali 11PEM) (povinný předmět programu)
• DOS bak.prez.17/18 - v 1.sem. si NEZAPSALI 14DB (povinný předmět)
• DOS bak.prez.17/18 - v 1.sem. si ZAPSALI 14DB (povinný předmět)
• LOG bak.prez.17/18 - v 1.sem. si NEZAPSALI 14DB (povinný předmět)
• LOG bak.prez.17/18 - v 1.sem. si ZAPSALI 14DB (povinný předmět)
• ITS bak.prez.17/18 - v 1.sem. si NEZAPSALI 14DB (povinný předmět)
• ITS bak.prez.17/18 - v 1.sem. si ZAPSALI 14DB (povinný předmět)
• LED bak.prez.17/18 - v 1.sem. si NEZAPSALI 14DB (povinný předmět)
• LED bak.prez.17/18 - v 1.sem. si ZAPSALI 14DB (povinný předmět)
• BEZ bak.prez.17/18 - v 1.sem. si NEZAPSALI 14DB (povinný předmět)
• BEZ bak.prez.17/18 - v 1.sem. si ZAPSALI 14DB (povinný předmět)
• LOG bak.prez.17/18 - včetně 11FYZ v 3.s. (povinný předmět)
• LED bak.prez.17/18 - včetně 11FYZ v 3.s. (povinný předmět)
• bak.prez.od 18/19 (povinný předmět)
• PIL bak.prez.18/19 (povinný předmět)
• TUL bak.prez.18/19 (povinný předmět programu)
• DOS bak.prez.18/19 (povinný předmět)
• LOG bak.prez.18/19 (povinný předmět)
• ITS bak.prez.18/19 (povinný předmět)
• LED bak.prez.18/19 (povinný předmět)
• TUL bak.prez.17/18 (v 2017-18 si ZAPSALI 11PEM) (povinný předmět programu)
• DOS bak.prez.18/19 (skok do 3.r.) (povinný předmět)
• CŽV pro LED bak.prez. v 18/19 (povinný předmět)
• LOG bak.prez.18/19 (skok do 3.r.) (povinný předmět)
• ITS bak.prez.18/19 (skok do 3.r.) (povinný předmět)
• LED bak.prez.18/19 - skok z 2.r.do 3.r. (povinný předmět)
• PIL bak.prez.19/20 (povinný předmět)
• bak.prez.od 19/20 (povinný předmět)
• TUL bak.prez.19/20 (povinný předmět programu)
• LED bak.prez.19/20 angličtina (povinný předmět)
• TUL bak.prez.17/18 (v 2017-18 si NEzapsali 11PEM) - namísto něj 21ZYL1 (povinný předmět programu)
• DOS bak.prez.19/20 (povinný předmět)
• LOG bak.prez.19/20 (povinný předmět)
• ITS bak.prez.19/20 (povinný předmět)
• LED bak.prez.19/20 (povinný předmět)
• ITS bak.prez.19/20 (skok do 3.r.) (povinný předmět)
• DOS bak.prez.19/20 (skok do 3.r.) (povinný předmět)
• LED bak.prez.19/20 (skok do 3.r.) (povinný předmět)
• TUL bak.prez.19/20 (skok do 3.r.) (povinný předmět programu)
• PIL bak.prez.20/21 (povinný předmět)
• TUL bak.prez.20/21 (povinný předmět programu)
• bak.prez.od 20/21 (pro B3710) (povinný předmět)
• LED bak.prez.20/21 angličtina (povinný předmět)
• DOS bak.prez.20/21 (povinný předmět)
• LOG bak.prez.20/21 (povinný předmět)
• LOG bak.prez.20/21 (skok do 3.r.) (povinný předmět)
• ITS bak.prez.20/21 (povinný předmět)
• ITS bak.prez.20/21 (skok do 3.r.) (povinný předmět)
• LED bak.prez.20/21 (povinný předmět)
• LED bak.prez.20/21 (skok do 3.r.) (povinný předmět)
• PIL bak.prez.20/21 (skok do 3.r.) (povinný předmět)
• bak.prez.od 21/22 (pro B3710) (povinný předmět)
• TUL bak.prez.21/22 (povinný předmět programu)
• PIL bak.prez.20/21 (skok ze 2. do 3.ročníku) (povinný předmět)
• bak.prez.od 21/22 (skok do 2.r.) - pro B3710 (povinný předmět)
• LED bak.prez.21/22 (skok do 3.r.) (povinný předmět)
• DOS bak.prez.21/22 (skok do 3.r.) (povinný předmět)
• LOG (obor) bak.prez.21/22 (skok do 3.r.) (povinný předmět)
• ITS bak.prez.21/22 (skok do 3.r.) (povinný předmět)
• PIL bak.prez.21/22 (obor - skok do 3.r.) (povinný předmět)
• TUL bak.prez.21/22 (skok do 3.r.) (povinný předmět programu)
• DOS bak.prez.21/22 (povinný předmět)
• ITS bak.prez.21/22 (povinný předmět)
• LED bak.prez.21/22 (povinný předmět)
• bak.prez.od 22/23 (pro TET) (povinný předmět)
• bak.prez.od 21/22 (pro TET) (povinný předmět)
• TUL bak.prez.22/23 (program TUL) (povinný předmět programu)
• bak.prez.od 23/24 (pro TET) (povinný předmět)
• TUL bak.prez.23/24 (program TUL) (povinný předmět programu)