Numerická matematika
| Kód | Zakončení | Kredity | Rozsah | Jazyk výuky |
|---|---|---|---|---|
| 2011049 | Z,ZK | 4 | 2P+2C | česky |
- Garant předmětu:
- Petr Sváček
- Přednášející:
- Luděk Beneš, Tomáš Bodnár, Marta Čertíková, Jiří Fürst, Lukáš Hájek, Jiří Holman, Vladimír Hric, Jan Karel, Radka Keslerová, Matěj Klíma, Petr Louda, Olga Majlingová, Vladimír Prokop, Hynek Řezníček, Petr Sváček, David Trdlička, Jan Valášek
- Cvičící:
- Luděk Beneš, Tomáš Bodnár, Marta Čertíková, Jiří Fürst, Lukáš Hájek, Tomáš Halada, Tomáš Hlavatý, Jiří Holman, Vladimír Hric, Jan Karel, Radka Keslerová, Matěj Klíma, Patrik Kovář, Ondřej Krejčí, Anna Lancmanová, Petr Louda, Pavel Mačák, Olga Majlingová, Josef Musil, Tomáš Neustupa, Vladimír Prokop, Prokop Pučejdl, Vítězslav Putna, Hynek Řezníček, Petr Sváček, Adam Tater, David Trdlička, Karel Vacek, Jan Valášek
- Předmět zajišťuje:
- ústav technické matematiky
- Anotace:
-
Numerické řešení soustav lineárních rovnic, klasické iterační metody a
gradientní metoda. Numerické řešení nelineárních algebraických rovnic. Metoda
nejmenších čtverců. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic,
počáteční a okrajová úloha. Numerické řešení základních lineárních parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí.
- Požadavky:
-
Numerické řešení soustav lineárních rovnic, klasické iterační metody a
gradientní metoda. Numerické řešení nelineárních algebraických rovnic. Metoda
nejmenších čtverců. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic,
počáteční a okrajová úloha. Numerické řešení základních lineárních parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí.
- Osnova přednášek:
-
• Gaussova eliminace a LU rozklad. Princip iteračních metod. Normy a spektrální poloměr matice.
• Prostá a Jacobiova iterační metoda, Gaussova–Seidelova iterační metoda, podmínky konvergence.
• Soustavy nelineárních rovnic. Existence a jednoznačnost řešení. Iterační metody – Newtonova metoda.
• Numerické řešení Cauchyovy úlohy pro rovnici 1.řádu a pro soustavu v normálním tvaru.
• Cauchyova úloha pro rovnici n–tého řádu jako speciální případ. Princip jednokrokových metod typu Runge–Kutty.
• Eulerova metoda 1. řádu a metody typu Runge-Kutty 2. řádu. Praktické použití metod.
• Problematika řešení okrajových úloh pro obyčejnou lineární diferenciální rovnici 2. řádu, porovnání s Cauchyovou úlohou. Existence a jednoznačnost řešení. Numerické řešení Dirichletovy úlohy. Princip metody sítí, konvergence metody.
• Numerické řešení lineárních parciálních diferenciálních rovnic 2.řádu dvou nezávisle proměnných metodou sítí.
• Klasifikace rovnic. Formulace základních úloh pro rovnice matematické fyziky (Laplace a Poisson, vedení tepla a vlnová rovnice)
• Diferenční náhrady prvé a druhé derivace funkce, řád aproximace.
• Princip metody sítí pro řešení jednotlivých typů úloh. Explicitní schéma pro rovnici vedení tepla a pro vlnovou rovnici.
- Osnova cvičení:
-
1. Normy vektorů a matic. Matice ostře diagonálně dominantní (ODD) a symetrická pozitivně
definitní (SPD). Vlastní čísla a vektory matice, spektrální poloměr.
2. Prostá iterační metoda. Podmínky konvergence, výpočet postupných aproximací.
3. Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda. Podmínky konvergence, výpočet postupných
aproximací.
4. Aproximace metodou nejmenších čtverců.
5. Soustavy nelineárních rovnic. Newtonova metoda.
6. Cauchyova úloha pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Numerická aproximace
explicitní a implicitní Eulerovou metodou.
7. Cauchyova úloha pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Numerická aproximace
pomocí jednokrokových metod Runge-Kutta. Collatzova metoda.
8. Numerická aproximace vybraných úloh z technické praxe. Použití jednokrokových metod
Runge-Kutta. Collatzova metoda a metody vyššího řádu.
9. Okrajová úloha pro obyčejnou lineární diferenciální rovnice 2. řádu v samoadjungovaném
tvaru. Metoda sítí
.
10. Dirichletova okrajová úloha pro Poissonovu rovnici a její aproximace metodou sítí.
11. Smíšená úloha pro rovnici vedení tepla. Numerické řešení metodou sítí explicitním a
implicitním schématem.
12. Smíšená úloha pro vlnovou rovnici. Numerické řešení metodou sítí explicitním a implicitním
schématem.
- Cíle studia:
-
Numerické řešení soustav lineárních rovnic, klasické iterační metody a
gradientní metoda. Numerické řešení nelineárních algebraických rovnic. Metoda
nejmenších čtverců. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic,
počáteční a okrajová úloha. Numerické řešení základních lineárních parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí.
- Studijní materiály:
-
1. Benda, J., Černá, R.: Numerická matematika, doplňkové skriptum, FS ČVUT v Praze, 1991
2. Vitásek, F.: Numerické metody, SNTL, Praha, 1987
- Poznámka:
- Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:
- Rozvrh není připraven
- Rozvrh na letní semestr 2024/2025:
-
06:00–08:0008:00–10:0010:00–12:0012:00–14:0014:00–16:0016:00–18:0018:00–20:0020:00–22:0022:00–24:00
Po Út St Čt Pá - Předmět je součástí následujících studijních plánů:
-
- 10 62 67 00 BTZI 2012 P základ (povinný předmět programu)
- 11 68 73 00 BTZI 2012 K základ (povinný předmět programu)
- 02 26 31 34 BSTR EPT 2012 P základ (povinný předmět programu)
- 03 26 31 36 BSTR IAT 2012 P základ (povinný předmět programu)
- 04 26 31 38 BSTR KPP 2012 P základ (povinný předmět programu)
- 06 40 45 48 BSTR EPT 2012 K základ (povinný předmět programu)
- 07 40 45 50 BSTR IAT 2012 K základ (povinný předmět programu)
- 08 40 45 52 BSTR KPP 2012 K základ (povinný předmět programu)
- 05 40 45 46 BSTR TZP 2012 K základ (povinný předmět programu)
- 05 40 45 46 DSTR TZP 2012 K základ (povinný předmět programu)
- 06 40 45 48 DSTR EPT 2012 K základ (povinný předmět programu)
- 07 40 45 50 DSTR IAT 2012 K základ (povinný předmět programu)
- 08 40 45 52 DSTR KPP 2012 K základ (povinný předmět programu)
- 10 62 67 00 DTZI 2012 P základ (povinný předmět programu)
- 11 68 73 00 DTZI 2012 K základ (povinný předmět programu)