Numerická matematika
| Kód | Zakončení | Kredity | Rozsah | Jazyk výuky |
|---|---|---|---|---|
| 2011049 | Z,ZK | 4 | 2P+2C | česky |
- Garant předmětu:
- Petr Sváček
- Přednášející:
- Luděk Beneš, Tomáš Bodnár, Marta Čertíková, Jiří Fürst, Lukáš Hájek, Jiří Holman, Vladimír Hric, Jan Karel, Radka Keslerová, Matěj Klíma, Petr Louda, Olga Majlingová, Vladimír Prokop, Hynek Řezníček, Petr Sváček, David Trdlička, Jan Valášek
- Cvičící:
- Luděk Beneš, Tomáš Bodnár, Marta Čertíková, Radek David, Jiří Fürst, Adam Groma, Lukáš Hájek, Tomáš Halada, Tomáš Hlavatý, Jiří Holman, Vladimír Hric, Jan Karel, Radka Keslerová, Matěj Klíma, Patrik Kovář, Tomáš Krejča, Anna Lancmanová, Petr Louda, Pavel Mačák, Olga Majlingová, Josef Musil, Tomáš Neustupa, Vladimír Prokop, Hynek Řezníček, Petr Sváček, Adam Tater, David Trdlička, Karel Vacek, Jan Valášek
- Předmět zajišťuje:
- ústav technické matematiky
- Anotace:
-
Numerické řešení soustav lineárních rovnic, klasické iterační metody a
gradientní metoda. Numerické řešení nelineárních algebraických rovnic. Metoda
nejmenších čtverců. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic,
počáteční a okrajová úloha. Numerické řešení základních lineárních parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí.
- Požadavky:
-
Numerické řešení soustav lineárních rovnic, klasické iterační metody a
gradientní metoda. Numerické řešení nelineárních algebraických rovnic. Metoda
nejmenších čtverců. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic,
počáteční a okrajová úloha. Numerické řešení základních lineárních parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí.
- Osnova přednášek:
-
1. Norma a spektrální poloměr matice. Vlastnosti matic. Princip iteračních metod a metoda prosté
iterace.
2. Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda. Podmínky konvergence.
3. Minimalizace funkce a gradientní metody. Metoda největšího spádu. Aproximace metodou
nejmenších čtverců. Odvození soustavy normálních rovnic.
4. Soustavy nelineárních rovnic, existence a jednoznačnosti řešení. Kontraktivní zobrazení,
metoda prosté iterace. Newtonova iterační metoda.
5. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic (ODR). Explicitní a implicitní Eulerova
metoda. Collatzova metoda.
6. Jednokrokové metody, lokální diskretizační chyba, globální chyba, řád metody.
7. Jednokrokové metody typu Runge-Kutty. Metody vyššího řádu.
8. Okrajová úloha pro lineární ODR 2. řádu v samoadjungovaném tvaru. Existence a
jednoznačnost řešení. Numerické řešení úlohy metodou sítí.
9. Princip metody sítí ve 2D, odvození náhrad pomocí Taylorova polynomu. Okrajová úloha pro
Poissonovu rovnici s Dirichletovou podmínkou. Řešení vzniklé soustavy lineárních rovnic.
Konvergence.
10. Formulace smíšené úlohy pro rovnici vedení tepla. Numerické řešení smíšené úlohy, explicitní a
implicitní schéma. Konvergence a stabilita metody.
11. Formulace smíšené úlohy pro vlnovou rovnici. Numerické řešení smíšené úlohy, explicitní a
implicitní schéma. Konvergence a stabilita metody.
12. Klasifikace lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu dvou nezávislých proměnných.
Otázky konvergence a odhady chyb
- Osnova cvičení:
-
1. Normy vektorů a matic. Matice ostře diagonálně dominantní (ODD) a symetrická pozitivně
definitní (SPD). Vlastní čísla a vektory matice, spektrální poloměr.
2. Prostá iterační metoda. Podmínky konvergence, výpočet postupných aproximací.
3. Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda. Podmínky konvergence, výpočet postupných
aproximací.
4. Aproximace metodou nejmenších čtverců.
5. Soustavy nelineárních rovnic. Newtonova metoda.
6. Cauchyova úloha pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Numerická aproximace
explicitní a implicitní Eulerovou metodou.
7. Cauchyova úloha pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Numerická aproximace
pomocí jednokrokových metod Runge-Kutta. Collatzova metoda.
8. Numerická aproximace vybraných úloh z technické praxe. Použití jednokrokových metod
Runge-Kutta. Collatzova metoda a metody vyššího řádu.
9. Okrajová úloha pro obyčejnou lineární diferenciální rovnice 2. řádu v samoadjungovaném
tvaru. Metoda sítí
.
10. Dirichletova okrajová úloha pro Poissonovu rovnici a její aproximace metodou sítí.
11. Smíšená úloha pro rovnici vedení tepla. Numerické řešení metodou sítí explicitním a
implicitním schématem.
12. Smíšená úloha pro vlnovou rovnici. Numerické řešení metodou sítí explicitním a implicitním
schématem.
- Cíle studia:
-
Numerické řešení soustav lineárních rovnic, klasické iterační metody a
gradientní metoda. Numerické řešení nelineárních algebraických rovnic. Metoda
nejmenších čtverců. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic,
počáteční a okrajová úloha. Numerické řešení základních lineárních parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí.
- Studijní materiály:
-
1. Benda, J., Černá, R.: Numerická matematika, doplňkové skriptum, FS ČVUT v Praze, 1991
2. Vitásek, F.: Numerické metody, SNTL, Praha, 1987
- Poznámka:
- Rozvrh na zimní semestr 2022/2023:
- Rozvrh není připraven
- Rozvrh na letní semestr 2022/2023:
-
06:00–08:0008:00–10:0010:00–12:0012:00–14:0014:00–16:0016:00–18:0018:00–20:0020:00–22:0022:00–24:00
Po Út St Čt Pá - Předmět je součástí následujících studijních plánů:
-
- 10 62 67 00 BTZI 2012 P základ (povinný předmět programu)
- 11 68 73 00 BTZI 2012 K základ (povinný předmět programu)
- 02 26 31 34 BSTR EPT 2012 P základ (povinný předmět programu)
- 03 26 31 36 BSTR IAT 2012 P základ (povinný předmět programu)
- 04 26 31 38 BSTR KPP 2012 P základ (povinný předmět programu)
- 06 40 45 48 BSTR EPT 2012 K základ (povinný předmět programu)
- 07 40 45 50 BSTR IAT 2012 K základ (povinný předmět programu)
- 08 40 45 52 BSTR KPP 2012 K základ (povinný předmět programu)
- 05 40 45 46 BSTR TZP 2012 K základ (povinný předmět programu)
- 05 40 45 46 DSTR TZP 2012 K základ (povinný předmět programu)
- 06 40 45 48 DSTR EPT 2012 K základ (povinný předmět programu)
- 07 40 45 50 DSTR IAT 2012 K základ (povinný předmět programu)
- 08 40 45 52 DSTR KPP 2012 K základ (povinný předmět programu)
- 10 62 67 00 DTZI 2012 P základ (povinný předmět programu)
- 11 68 73 00 DTZI 2012 K základ (povinný předmět programu)