Logo ČVUT
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
STUDIJNÍ PLÁNY
2019/2020

Numerická matematika

Předmět není vypsán Nerozvrhuje se
Kód Zakončení Kredity Rozsah Jazyk výuky
2011049 Z,ZK 4 2P+2C česky
Přednášející:
Cvičící:
Předmět zajišťuje:
ústav technické matematiky
Anotace:

Numerické řešení soustav lineárních rovnic, klasické iterační metody a

gradientní metoda. Numerické řešení nelineárních algebraických rovnic. Metoda

nejmenších čtverců. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic,

počáteční a okrajová úloha. Numerické řešení základních lineárních parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí.

Požadavky:

Numerické řešení soustav lineárních rovnic, klasické iterační metody a

gradientní metoda. Numerické řešení nelineárních algebraických rovnic. Metoda

nejmenších čtverců. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic,

počáteční a okrajová úloha. Numerické řešení základních lineárních parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí.

Osnova přednášek:

1. Norma a spektrální poloměr matice. Vlastnosti matic. Princip iteračních metod a metoda prosté

iterace.

2. Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda. Podmínky konvergence.

3. Minimalizace funkce a gradientní metody. Metoda největšího spádu. Aproximace metodou

nejmenších čtverců. Odvození soustavy normálních rovnic.

4. Soustavy nelineárních rovnic, existence a jednoznačnosti řešení. Kontraktivní zobrazení,

metoda prosté iterace. Newtonova iterační metoda.

5. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic (ODR). Explicitní a implicitní Eulerova

metoda. Collatzova metoda.

6. Jednokrokové metody, lokální diskretizační chyba, globální chyba, řád metody.

7. Jednokrokové metody typu Runge-Kutty. Metody vyššího řádu.

8. Okrajová úloha pro lineární ODR 2. řádu v samoadjungovaném tvaru. Existence a

jednoznačnost řešení. Numerické řešení úlohy metodou sítí.

9. Princip metody sítí ve 2D, odvození náhrad pomocí Taylorova polynomu. Okrajová úloha pro

Poissonovu rovnici s Dirichletovou podmínkou. Řešení vzniklé soustavy lineárních rovnic.

Konvergence.

10. Formulace smíšené úlohy pro rovnici vedení tepla. Numerické řešení smíšené úlohy, explicitní a

implicitní schéma. Konvergence a stabilita metody.

11. Formulace smíšené úlohy pro vlnovou rovnici. Numerické řešení smíšené úlohy, explicitní a

implicitní schéma. Konvergence a stabilita metody.

12. Klasifikace lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu dvou nezávislých proměnných.

Otázky konvergence a odhady chyb

Osnova cvičení:

1. Normy vektorů a matic. Matice ostře diagonálně dominantní (ODD) a symetrická pozitivně

definitní (SPD). Vlastní čísla a vektory matice, spektrální poloměr.

2. Prostá iterační metoda. Podmínky konvergence, výpočet postupných aproximací.

3. Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda. Podmínky konvergence, výpočet postupných

aproximací.

4. Aproximace metodou nejmenších čtverců.

5. Soustavy nelineárních rovnic. Newtonova metoda.

6. Cauchyova úloha pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Numerická aproximace

explicitní a implicitní Eulerovou metodou.

7. Cauchyova úloha pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Numerická aproximace

pomocí jednokrokových metod Runge-Kutta. Collatzova metoda.

8. Numerická aproximace vybraných úloh z technické praxe. Použití jednokrokových metod

Runge-Kutta. Collatzova metoda a metody vyššího řádu.

9. Okrajová úloha pro obyčejnou lineární diferenciální rovnice 2. řádu v samoadjungovaném

tvaru. Metoda sítí

.

10. Dirichletova okrajová úloha pro Poissonovu rovnici a její aproximace metodou sítí.

11. Smíšená úloha pro rovnici vedení tepla. Numerické řešení metodou sítí explicitním a

implicitním schématem.

12. Smíšená úloha pro vlnovou rovnici. Numerické řešení metodou sítí explicitním a implicitním

schématem.

Cíle studia:

Numerické řešení soustav lineárních rovnic, klasické iterační metody a

gradientní metoda. Numerické řešení nelineárních algebraických rovnic. Metoda

nejmenších čtverců. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic,

počáteční a okrajová úloha. Numerické řešení základních lineárních parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí.

Studijní materiály:

1. Benda, J., Černá, R.: Numerická matematika, doplňkové skriptum, FS ČVUT v Praze, 1991

2. Vitásek, F.: Numerické metody, SNTL, Praha, 1987

Poznámka:
Další informace:
Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje
Předmět je součástí následujících studijních plánů:
Platnost dat k 9. 12. 2019
Aktualizace výše uvedených informací naleznete na adrese http://bilakniha.cvut.cz/cs/predmet10509002.html