Numerické řešení diferenciálních rovnic

Garant předmětu:

Petr Mayer, Ivana Pultarová

Přednášející:

Petr Mayer

Cvičící:

Petr Mayer, Ivana Pultarová

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Po připomenutí základních pojmů lineární algebry (matice, determinant, Gaussova eliminace) se věnuje iteračním metodám pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Dále pak metodě sítí a metodě konečných prvků pro numerické řešení úloh založených na diferenciálních rovnicích. Okrajově též metodám pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními podmínkami.

Požadavky:

Předpokládá se základní znalost derivace (derivování elementárních funkcí, případně nekomplikovaných složených funkcí) a integrace (určitý a neurčitý integrál elementárních funkcí, integrace po částech) a dále základní obeznámenost s vektory a maticemi (vše podstatné však bude zopakováno).

Alespoň 70% účast na cvičení.

Osnova přednášek:

1. Matice, skalární součin vektorů, vlastní čísla a vlastní vektory matic, spektrum matice.

2. Normovaný lineární prostor, normy matic a vektorů, číslo podmíněnosti.

3. Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic, řídké matice.

4. Jednokrokové metody pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními podmínkami.

5. Prostory funkcí, skalární součin funkcí, diferenciální operátory.

6. Variační princip pro 1D úlohy s pozitivně definitním operátorem, funkcionál energie, zobecněné řešení.

7. Variační metody pro přibližné řešení okrajových úloh (Ritzova metoda, metoda konečných prvků).

8. Poissonova rovnice ve 2D, okrajové podmínky, aplikace, Ritzova metoda, metoda konečných prvků.

9. Metoda sítí pro 1D okrajové úlohy a úlohy na vlastní čísla a vlastní funkce. Různé okrajové podmínky.

10. Metoda sítí pro eliptické okrajové úlohy ve 2D.

11. Vlnová rovnice, numerické řešení metodou sítí, stabilní a nestabilní metoda.

12. Rovnice vedení tepla, numerické řešení metodou sítí (pro 2D jen informativně), stabilní a nestabilní metoda.

13. Rezerva.

Osnova cvičení:

Na cvičení se procvičuje látka probraná na přednášce, tj. dle harmonogramu přednášky.

Cíle studia:

Seznámit studující alespoň se základními pojmy a numerickými metodami, které jsou běžné při řešení standardních úloh s diferenciálními rovnicemi.

Studijní materiály:

!online https://mi21.vsb.cz/sites/mi21.vsb.cz/files/unit/numericke_metody_2.pdf - R. Blaheta: Matematické modelování a metoda konečných prvků, VŠB-TU Ostrava, 2012

!online https://mi21.vsb.cz/sites/mi21.vsb.cz/files/unit/linearni_algebra.pdf - Z. Dostál, V. Vondrák: Lineární algebra, VŠB-TU Ostrava, 2012

!online https://mat.fsv.cvut.cz/chleboun/JCh_vyuka/101MA4/MA4_sbirka21-22S.pdf - J. Chleboun: Příklady k předmětu Matematika 4, FSv ČVUT, Praha, 2021

?H. P. Lantangen, S. Linge: Finite Difference Computing with PDEs, A Modern Software Approach, Springer, Cham, 2017.

?J. C. Butcher: Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, John Wiley & Sons, Chichester, 2016.

Poznámka:

Další informace:

Viz https://mat.fsv.cvut.cz/vyuka/magistri/zs

Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Stavební Inženýrství - konstrukce a dopravní stavby, specializace Inženýrské konstrukce (povinný předmět)
• Stavební Inženýrství - konstrukce a dopravní stavby, specializace Dopravní stavby a geotechnika (povinný předmět)