Variační metody

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Předmět obsahuje metody klasického variačního počtu - vyšetřování extrémů funkcionálů pomocí Eulerových rovnic, vlastností druhé derivace (variace), konvexnosti nebo monotonie. Dále je věnován vyšetřování kvadratického funkcionálu, zobecněného řešení, Sobolevových prostorů a řešení variační úlohy pro eliptické parciální diferenciální rovnice.

Požadavky:

Základní kurzy matematické analýzy, lineární algebry a numerické matematiky, funkcionální analýza (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, 01LA1, 01LAA, 01NM, 01FA12).

Osnova přednášek:

1. Extrém funkcionálu, Eulerovy rovnice.

2. Podmínky existence extrému.

3. Věta o minimu kvadratického funkcionálu a její důsledky.

4. Metody konstrukce minimalizujících posloupností (Galerkinova, nejmenších čtverců).

5. Otázky volby báze.

6. Sobolevovy prostory.

7. Stopy funkcí. Slabá formulace okrajových úloh.

8. V-eliptičnost. Laxova-Milgramova věta.

9. Slabá řešení Dirichletova a Neumannova problému pro eliptické rovnice.

Osnova cvičení:

Cvičení je součástí výkladu a obsahuje řešení konkrétních úloh variačního počtu - např. úlohy o nejkratší spojnici, o minimální ploše, průhybu tyče, Cahnovy-Hilliardovy teorie fázových přechodů a pod.

Cíle studia:

Znalosti:

Klasický variační počet - nutné a postačující podmínky existence extrému funkcionálu, Eulerovy rovnice, extrém kvadratického funkcionálu, zobecněné řešení operátorové rovnice, Sobolevovy prostory a slabé řešení okrajové úlohy pro eliptickou parciální diferenciální rovnici.

Schopnosti:

Nalezení a vyšetření extrému funkcionálu, řešení základních úloh variačního počtu, formulace variační úlohy a určení jejích vlastností.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] S. V. Fomin, R. A. Silverman, Calculus of variations, Courier Dover Publications, Dover 2000.

[2] K. Rektorys, Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.

Doporučená literatura:

[3] M. A. Lavrentěv a L.A. Ljusternik, Kurs variačního počtu, Přírodovědecké nakladatelství, Praha 1952.

[4] I. M. Gelfand a S.V. Fomin, Variacionnoje isčislenije, GosIzdat, Moskva 1961.

[5] L. E. Elsgolc, Variační počet, SNTL, Praha 1965.

[6] B. Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations, Imperial College Press, London 2004.

[7] B. Van Brunt, The calculus of variations, Birkhäuser, Basel 2004.

[8] E. Giusti, Direct methods in the calculus of variations, World Scientific, Singapore 2003.

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů: