Pokročilá pravděpodobnost

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Obsahem předmětu je hlubší základ do Teorie pravděpodobnosti a statistiky na úrovni teorie míry pro obecná rozložení náhodných veličin. Probrány jsou výběrové i integrální charakteristiky veličin a kritéria konvergence. Dále je rozšířena teorie odhadů statistického modelu a jeho testování pro parametrický i neparametrický případ.

Požadavky:

Základní kurzy matematické analýzy dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MAB3-4, dále 01PRST.

Osnova přednášek:

1. Prostory náhodných veličin: Měřitelné prostory, borelovské množiny a funkce, prostor náhodných veličin, podsystémy generující borelovskou sigma-algebru, indukovaná míra, Monotone Class theorem, existence a jednoznačnost rozšíření míry, nezávislost sigma-algeber, stochastická nezávislost generujících podsystémů, zúplnění sigma-algebry, zúplnění míry P.

2. Rozdělení náhodných veličin: Absolutní spojitost měr, sigma-finitní míry, Radon-Nikodymova věta, derivace podle míry, jednoznačnost, Lebesgueův rozklad distribuční funkce, podmíněná pravděpodobnostní míra.

3. Integrál podle pravděpodobnostní míry: Lp-prostory integrovatelných náhodných veličin, třídy ekvivalence, součinové pravděpodobnostní míry, nezávislost, Lebesgueova věta, Tonelliho věta, věta o přenosu integrace, Hilbertův prostor L2.

4. Charakteristická funkce: Vlastnosti, výpočet pro známá rozdělení, důkaz jednoznačnosti (třída funkcí C0, Stone-Weierstrassův teorém), použití pro rozdělení transformovaných veličin a reprodukční vlastnosti.

5. Konvergence na vícerozměrných prostorech: Konvergence transformovaných náhodných veličin, Kolmogorovův silný zákon velkých čísel, Chinčinova věta, řád konsistence, slabá konvergence pravděpodobnostních měr, Lévyho věta o spojitosti, Hellyho selekční princip, Skorokhodovův representační teorém, Slutskyho věta v Rd, Lindeberg-Lévyho a Lindeberg-Fellerova centrální limitní věta, Berry-Esseenova věta.

6. Pokročilejší Statistika: Přirozená prodloužení náhodných veličin na součinový prostor, regulární systémy hustot, Rao-Cramerova nerovnost v Rd. Důkaz existence konsistentního řešení rovnice věrohodnosti a jejich asymptotické eficience. Množina bodů supereficience, asymptotická relativní eficience a deficience odhadů. Znáhodněné testování hypotéz a zobecněné Neyman-Pearsonovo lemma. Neparametrické modely, empirická distribuční funkce a hustota, vlastnosti, Glivenko-Cantelliho věta, Dvoretzky-Keifer-Wolfowitzova věta, Vapnik-Chervonenkisova nerovnost. Jádrové odhady hustot a jejich vlastnosti.

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Znalosti:

Rozšiřující pojmy a souvislosti v následujících oblastech: Pravděpodobnostní míra, náhodné veličiny, rozdělení pravděpodobnosti, střední hodnota, charakteristická funkce, konvergence, limitní věty a další asymptotické výsledky, statistický bodový odhad, testování hypotéz.

Schopnosti:

Na úrovni teorie míry schopnost zpracovávat obecnější pravděpodobnostní modely s hlubším pochopením náhodných zákonitostí jak z teoretického pohledu tak vzhledem k praktickému použití. Schopnost použití pro pravděpodobnostní výpočty v konkrétních situacích ve statistice a zpracování dat parametrických i neparametrických modelů.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] Rényi A., Teorie pravděpodobnosti, Academia, Praha, 1972.

[2] Anděl J., Základy matematické statistiky, MatFyzPress, Praha, 2005.

[3] Schervish M.J., Theory of Statistics, Springer, 1995.

Doporučená literatura:

[4] Shao J., Mathematical Statistics, Springer, 1999.

[5] Lehmann E.L., Point Estimation, Wiley, N.Y., 1984.

[6] Lehmann E.L., Testing Statistical Hypotheses, Springer, N.Y., 1986.

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• BS Matematické inženýrství - Matematické modelování (volitelný předmět)
• BS Matematické inženýrství - Matematická fyzika (volitelný předmět)
• BS Matematické inženýrství - Aplikované matematicko-stochastické metody (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Informatická fyzika (volitelný předmět)
• BS Aplikace softwarového inženýrství (volitelný předmět)
• BS Aplikovaná informatika (volitelný předmět)
• BS jaderné inženýrství B (volitelný předmět)
• BS Jaderné inženýrství C (volitelný předmět)
• BS Dozimetrie a aplikace ionizujícího záření (volitelný předmět)
• BS Experimentální jaderná a částicová fyzika (volitelný předmět)
• BS Inženýrství pevných látek (volitelný předmět)
• BS Diagnostika materiálů (volitelný předmět)
• BS Fyzika a technika termojaderné fúze (volitelný předmět)
• BS Fyzikální elektronika (volitelný předmět)
• BS Jaderná chemie (volitelný předmět)