Modelování extrémních událostí

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Obsahem předmětu je výklad modelů popisujících extrémní události, tedy události, které se vyskytují s velmi nízkou pravděpodobností, ale mají značný vliv na chování popisovaného modelu. Vyložena bude fluktuace náhodných sum a fluktuace náhodného maxima, probírány jednotlivá rozdělení vhodná pro modelování extrémních událostí a různé modely a jejich aplikace. Teoretické poznatky budou aplikovány na reálná data.

Požadavky:

01MIP nebo 01PRST. 01MAS.

Osnova přednášek:

1. Motivační příklad z oblasti agregovaného provozu v počítačové síti, způsoby jeho řešení (machine learning), on-off approximace.

2. Distribution free nerovnosti (Cantelli, Chernoff, Hoeffding,...).

3. Neparametrické odhady hustot a jejich chvostů (adaptivní jádrový odhad, transformace dat), semiparametrické odhady hustot (Barronův).

4. Rozdělení pro modelování extremálních hodnot s těžkými chvosty, zobecněné Pareto, log-gamma, log-normální, heavy-tailed Weibullovo, zobecněné Gumbelovo rozdělení extremálních hodnot - odhady parametrů těchto rozdělení a jejich asymptotické vlastnosti.

5. PP a QQ ploty pro fitování správného rozdělení extremálních hodnot, ME - mean excess funkce, její empirické odhady a použití.

6. Doba návratu (pojistné) události, uspořádané statistiky, Gumbelova metoda překročení úrovně.

7. Fluktuace náhodných sum, stabilní a alfa-stabilní distribuce, spektrální representace stabilní distribuce.

8. Fluktuace náhodného maxima: Gumbelova, Fréchetova a Weibullova distribuce jako limitní rozdělení maximální hodnoty iid veličin, Fisher-Tippettův zákon.

9. Obor stabilní slabé konvergence maxima Mn (oblasti přitažlivosti maxima), aplikace na rozdělení a střední hodnotu překročení dané hranice - POT úlohy.

10. Modely se subexponenciální distribucí pro modelování rozdělení s těžkými chvosty, třída funkcí R_alfa, s regulární variací řádu alfa v nekonečnu, Karamatův teorém.

11. Aplikace na povodňová data, data z pojišťovnictví (kumulativní počet pojistných událostí), četné ukázky.

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Znalosti:

Matematické modely popisující události, které se vyskytují s relativně nízkou pravděpodobností, ale s významným vlivem na chování celého modelovaného systému, různá rozdělení vhodná pro modelování extrémních událostí, GEV, GPD, jejich vlastnosti, oblasti přitažlivosti maxima, POT metody.

Schopnosti:

Tyto modely aplikovat na konkrétních příkladech jako jsou reálná data z povodní, požárů, oblastí pojistných a finančních rizik,... s cílem předpovědí extrémních událostí, tzn. použití na reálná data s cílem predikce.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] P. Embrechts, C. Klüppelberg, T. Mikosch, Modelling Extremal Events, New York Springer, 1997.

Doporučená literatura:

[2] S. Coles, An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values, Springer-Verlag London, 2001.

[3] P. Embrechts, H. Schmidli, Modelling of extremal events in insurance and finance, New York, Springer, 1994.

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů: