Vybrané partie z matematiky

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Fourierovy řady: úplné ortogonální systémy, rozvoj funkce do Fourierovy řady, trigonometrické Fourierovy řady a jejich konvergence. Analýza v komplexním oboru: derivace holomorfní funkce, integrál, Cauchyova věta, Cauchyův integrální vzorec, izolované singularity, Laurentův rozvoj, reziduová věta.

Požadavky:

Základní kurzy matematické analýzy (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, nebo 01MAB2-3).

Osnova přednášek:

1. Teorie Fourierových řad v obecném Hilbertově prostoru, úplné ortogonální systémy, Besselova nerovnost, Parsevalova rovnost.

2. Fourierovy řady v L2, trigonometrický systém, Fourierovy koeficienty, Besselova nerovnost, Parsevalova rovnost, rozvoj funkce do trigonometrické řady.

3. Kritéria konvergence Fourierových řad.

4. Analýza v komplexním oboru: derivace, holomorfní funkce, Cauchyho-Riemannovy podmínky.

5. Křivkový integrál komplexní funkce komplexní proměnné, Cauchyho věta, Cauchyův integrální vzorec

6. Rozvoj holomorfní funkce do mocninné řady, izolované singularity, Laurentův rozvoj, reziduová věta.

Osnova cvičení:

1. Shrnutí vlastností funkčních řad, vyšetřování stejnoměrné konvergence funkčních řad.

2. Fourierovy řady v obecném Hilbertově prostoru, Grammova-Schmidtova ortogonalizace, ortogonální polynomy.

3. Trigonometrický systém v L2. Rozvoje funkcí do trigonometrické Fourierovy řady, vyšetřování konvergence trigonometrických řad. Hledání součtu řad pomocí Fourierových rozvojů.

4. Elementární funkce komplexní proměnné, polynomy, exponenciela, goniometrické funkce, logaritmus v komplexním oboru.

5. Analýza v komplexním oboru: spojitost, derivace, Cauchyho-Riemannovy podmínky.

6. Výpočet křivkový integrálů komplexních funkcí komplexní proměnné, aplikace Cauchyho věty, Cauchyho integrálního vzorce a reziduové věty.

Cíle studia:

Znalosti:

Rozvoje funkcí do Fourierových řad a vyšetřování jejich konvergence, použití teorie holomorfních funkcí pro výpočet křivkových integrálů v C a výpočet některých typů určitých integrálů reálných funkcí.

Schopnosti:

Použití rozvoje funkce do Fourierovy řady k vyčíslení součtu některých řad, výpočet určitých integrálů pomocí teorie funkcí komplexní proměnné.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] J. Kopáček: Matematická analýza pro fyziky (IV), MatfyzPress, 2003.

Doporučená literatura:

[2] J. Kopáček a kol.: Příklady z matematiky pro fyziky [IV], MatfyzPress, 2003.

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• BS Matematické inženýrství - Aplikované matematicko-stochastické metody (povinně volitelný předmět)
• BS Informatická fyzika (povinně volitelný předmět)
• BS jaderné inženýrství B (povinný předmět oboru)
• BS Dozimetrie a aplikace ionizujícího záření (povinně volitelný předmět)
• BS Experimentální jaderná a částicová fyzika (povinně volitelný předmět)
• BS Inženýrství pevných látek (povinně volitelný předmět)
• BS Diagnostika materiálů (povinně volitelný předmět)
• BS Fyzika a technika termojaderné fúze (povinně volitelný předmět)
• BS Fyzikální elektronika (povinně volitelný předmět)