Metody matematické fyziky

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Obsahem předmětu je teorie zobecněných funkcí a její aplikace při řešení parciálních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty, dále Fredholmovy věty pro integrální operátory se spojitým jádrem na kompaktní množině, Sturm-Liouvilleovy operátory na omezeném intervalu a aplikace metody separace proměnných při řešení některých okrajových a smíšených úloh.

Požadavky:

Základní kurzy matematické analýzy a lineární algebry (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, 01LA1, 01LAA2).

Osnova přednášek:

1. Definice prostorů zobecněných funkcí a základní operace, periodické zobecněné funkce, tenzorový součin a konvoluce.

2. Temperované zobecněné funkce a Fourierova transformace.

3. Zobecněná Laplaceova transformace.

4. Fredholmovy věty pro integrální operátory se spojitým jádrem na kompaktní množině.

5. Eliptické operátory, Sturm-Liouvilleovy operátory na omezeném intervalu, Greenova funkce.

6. Řešení okrajové úlohy pro Laplaceovu rovnici na symetrických oblastech.

7. Řešení smíšené úlohy metodou separace proměnných.

Osnova cvičení:

1. Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu.

2. Příklady na počet se zobecněnými funkcemi - limita, derivování, rozvoj do Fourierovy řady.

3. Derivování v zobecněném smyslu po částech hladkých funkcí.

4. Fundamentální řešení pro nejznámější parciální diferenciální operátory s konstantními koeficienty.

5. Příklady na výpočet konvoluce.

6. Použití teorie zobecněných funkcí při řešení obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty, vlnové rovnice a rovnice vedení tepla.

7. Příklady na zobecněnou Fourierovu transformaci.

8. Příklady na zobecněnou Laplaceovu transformaci a aplikace.

9. Řešení integrálních rovnic s degenerovaným jádrem.

10. Řešení Sturm-Liouvilleovy rovnice s pravou stranou.

11. Řešení okrajové úlohy pro Laplaceovu rovnici na kruhu a obdélníku.

12. Řešení smíšené úlohy metodou separace proměnných.

Cíle studia:

Znalosti:

Znalost teorie zobecněných funkcí včetně Fourierovy transformace a Laplaceovy transformace, znalost základních výsledků o řešitelnosti integrálních rovnic se spojitým jádrem (Fredholmovy věty) a dále základních výsledků o eliptických operátorech, zejména o Sturm-Liouvilleových operátorech.

Schopnosti:

Schopnost uplatnit tyto znalosti při řešení nejběžnějších úloh s parciálními diferenciálními operátory a při řešení integrálních rovnic.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] P. Šťovíček: Metody matematické fyziky I, (ČVUT, Praha, 2004),

[2] M. Virius: Cvičení z metod matematické fyziky I, (ČVUT, Praha, 1990),

[3] M. Virius: Cvičení z metod matematické fyziky II, (ČVUT, Praha, 1991);

Doporučená literatura:

[4] L. Schwartz: Matematické metody ve fyzice, (SNTL, Praha, 1972),

[5] V. S. Vladimirov: Equations of Mathematical Physics, (Marcel Dekker, New York, 1971).

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• BS Matematické inženýrství - Matematické modelování (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Matematické inženýrství - Matematická fyzika (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Matematické inženýrství - Aplikované matematicko-stochastické metody (volitelný předmět)
• BS Informatická fyzika (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Aplikace softwarového inženýrství (volitelný předmět)
• BS Aplikovaná informatika (volitelný předmět)
• BS jaderné inženýrství B (volitelný předmět)
• BS Jaderné inženýrství C (volitelný předmět)
• BS Dozimetrie a aplikace ionizujícího záření (volitelný předmět)
• BS Experimentální jaderná a částicová fyzika (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Inženýrství pevných látek (volitelný předmět)
• BS Diagnostika materiálů (volitelný předmět)
• BS Fyzika a technika termojaderné fúze (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Fyzikální elektronika (volitelný předmět)
• BS Jaderná chemie (volitelný předmět)