Funkcionální analýza 1

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Probírají se postupně základní pojmy a výsledky týkající se topologických prostorů, metrických prostorů, topologických vektorových prostorů, normovaných a Banachových prostorů, Hilbertových prostorů.

Požadavky:

Úplný základní kurz matematické analýzy a lineární algebry na FJFI na úrovni matematiky A nebo B.

Osnova přednášek:

1. Topologické prostory

2. Metrické prostory, kriteria kompaktnosti, věta o zúplnění

3. Topologické vektorové prostory

4. Minkowského funkcionál, Hahnova-Banachova věta

5. Metrické vektorové prostory, Fréchetovy prostory

6. Normované prostory, omezená lineární zobrazení, norma operátoru

7. Banachovy prostory, věta o spojitém rozšířeni omezeného operátoru

8. Prostory integrovatelných funkcí

9. Hilbertovy prostory, ortogonální projekce, ortogonální báze, Besselova nerovnost, Parcevalova rovnost

10. Rieszova věta o reprezentaci funkcionálu, sdružený operátor

Osnova cvičení:

1. Topologické a metrické prostory

2. Důsledky Hahnovy-Banachovy věty

3. Omezené lineární operátory a jejich norma

4. Fourierova transformace

5. Příklady Banachových prostorů

6. Příklady na různé typy konvergence

7. Projektory v Banachových a Hilbertových prostorech

8. Rieszova věta

Cíle studia:

Znalosti:

Základní znalosti o Banachových a Hilbertových prostorech a o operátorech v těchto prostorech, které se opírají o dostatečně hluboké znalosti o topologických a metrických prostorech.

Schopnosti:

Používání matematického aparátu Banachových a Hilbertových prostorů.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] Blank, Exner, Havlíček: Lineární operátory v kvantové fyzice, Karolinum, Praha, 1993

Doporučená literatura:

[2] Taylor: Úvod do funkcionální analýzy, Academia, Praha, 1973

[3] W. Rudin - Analýza v komplexním a reálném oboru, Academia, Praha, 2003

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• BS Matematické inženýrství - Matematické modelování (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Matematické inženýrství - Matematická fyzika (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Matematické inženýrství - Aplikované matematicko-stochastické metody (volitelný předmět)
• BS Informatická fyzika (volitelný předmět)
• BS Aplikace softwarového inženýrství (volitelný předmět)
• BS Aplikovaná informatika (volitelný předmět)
• BS jaderné inženýrství B (volitelný předmět)
• BS Jaderné inženýrství C (volitelný předmět)
• BS Dozimetrie a aplikace ionizujícího záření (volitelný předmět)
• BS Experimentální jaderná a částicová fyzika (volitelný předmět)
• BS Inženýrství pevných látek (volitelný předmět)
• BS Diagnostika materiálů (volitelný předmět)
• BS Fyzika a technika termojaderné fúze (volitelný předmět)
• BS Fyzikální elektronika (volitelný předmět)
• BS Jaderná chemie (volitelný předmět)