Matematika

Garant předmětu:

Magdalena Hykšová

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra aplikované matematiky

Anotace:

Požadavky:

Osnova přednášek:

Hlavní tematické okruhy:

Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty a jejich soustavy, využití pro modelování dynamických systémů

Funkce více proměnných a jejich význam (plochy v prostoru, veličiny závisející na více parametrech, např. hustota nehomogenního tělesa závisející na poloze, hustota dopravy závisející na poloze a čase, dojezdová vzdálenost závisející na spotřebě a rychlosti, zisk závisející na ceně a množství aj.); skalární a vektorové pole

Limita a spojitost zobrazení, derivace funkce více proměnných podle vektoru, parciální derivace a jejich interpretace, využití pro sledování reakce dané funkce na změny jednotlivých parametrů

Diferenciál funkce více proměnných a jeho význam (tečná rovina ke grafu funkce; odhad změny polohy, roztažnosti, změny dojezdové vzdálenosti, výsledné chyby měření; model dopravního toku; změna celkového zisku, elasticita poptávky aj.)

Gradient funkce a jeho význam (vyjádření směru a intenzity maximálního, popř. nulového růstu a maximálního poklesu, vrstevnice, ekvipotenciály, míra nerovnoměrnosti rozložení veličiny a její vliv na vznik proudění aj.)

Parciální derivace a diferenciály vyšších řádů, Taylorův polynom funkce více proměnných a jeho využití pro aproximaci funkce

Funkce definované implicitně, regulární zobrazení, Jakobián.

Lokální extrémy funkcí více proměnných, vázané lokální extrémy, globální extrémy spojité funkce na kompaktní množině, aplikace v optimalizačních úlohách (minimalizace nákladů, tepelných ztrát, energetických výdajů, spotřeby aj., maximalizace zisku, užitku, koncentrace, tuhosti aj.)

Riemannův integrál v Rn, Fubiniova věta a věta o substituci, některé často užívané souřadnice; aplikace (obsah oblasti, objem tělesa, hmotnost, statické momenty, těžiště, zatížení, moment setrvačnosti, elektrický náboj aj.)

Křivkový a plošný integrál 1. druhu a jeho aplikace (délka křivky; obsah plochy; hmotnost, statické momenty, těžiště, zatížení, moment setrvačnosti, elektrický náboj aj.)

Práce vektorového pole po křivce, křivkový integrál 2. druhu a jeho aplikace (výpočet práce silového pole po křivce, cirkulace podél uzavřené křivky, celkového toku dopravy podél koridoru aj.)

Tok vektoru plochou, plošný integrál 2. druhu a jeho aplikace (výpočet průtoku tekutin plochou, tlakové síly, energie, tok elektrického a magnetického pole aj.)

Potenciálové vektorové pole, Stokesova, Greenova a Gaussova věta, nezávislost křivkového integrálu druhého druhu na křivce, využití pro zjednodušení výpočtu křivkových a plošných integrálů

U všech témat je kladen důraz na aplikace v geometrii, fyzice, ekonomii a technické praxi.

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Student ovládá a dokáže aplikovat následující matematické nástroje:

Lineární diferenciální rovnice a jejich soustavy jako nástroj pro modelování složitějších dynamických systémů

Funkce více proměnných jako nástroj pro popis skalárních i vektorových veličin závisejících na více parametrech

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Derivace podle vektoru a derivace ve směru jako nástroj pro popis rychlosti změny dané veličiny; parciální derivace jako nástroj pro sledování reakce dané veličiny na změny jednotlivých parametrů

Diferenciál funkce více proměnných jako nástroj pro lineární aproximaci

Gradient funkce jako nástroj pro vyjádření směru a intenzity maximálního růstu, popř. maximálního poklesu dané veličiny, vrstevnic, ekvipotenciál, míry nerovnoměrnosti veličiny a odtud plynoucího proudění

Metody pro nalezení lokálních a globálních extrémů funkcí více proměnných, aplikace v optimalizačních úlohách

Riemannův integrál v Rn jako nástroj pro integraci přes oblasti ve vícerozměrných prostorech (obsah rovinné oblasti, objem tělesa, hmotnost, statické momenty, těžiště, zatížení, moment setrvačnosti, elektrický náboj aj.)

Křivkový a plošný integrál 1. druhu jako nástroj pro nalezení délky křivky, resp. obsahu plochy, hmotnosti, statických momentů, těžiště, zatížení, momentu setrvačnosti, elektrického náboje aj.

Křivkový integrál 2. druhu jako nástroj pro výpočet práce vektorového pole po křivce, cirkulace podél uzavřené křivky, celkového toku dopravy podél koridoru aj.

Plošný integrál 2. druhu jako nástroj pro výpočet toku vektorové veličiny plochou (průtok tekutin plochou, tok elektrického a magnetického pole, výpočet celkové tlakové síly, energie aj.).

Studijní materiály:

Základní literatura:

[1]Nagy J., Navrátil O.: Matematická analýza, Praha, skriptum FD ČVUT, 2017

[2]Nagy J., Navrátil O.: Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných, Praha, skriptum FD ČVUT, 2005

Rozšiřující literatura:

[1]Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Praha, SNTL, 1968

[2]Bartsch H.J.: Matematické vzorce, Praha, Mladá fronta, 1996

Materiály dostupné online:

[1]https://www.fd.cvut.cz/personal/hyksomag/Matematika

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Bc. DOI-DIS od 2027/28 (povinný předmět programu)
• Bc. DOI-RDT od 2027/28 (povinný předmět programu)
• Bc. DOI-LET od 2027/28 (povinný předmět programu)
• Bc. DOI-LMD od 2027/28 (povinný předmět programu)
• Bc. DOI-VUM od 2027/28 (povinný předmět programu)
• Bc. DOI-FIZ od 2027/28 (povinný předmět programu)
• Bc. DOI společná část studia od 2026/27 (povinný předmět programu)