Numerické metody

Garant předmětu:

Pavel Váchal

Přednášející:

Jan Vábek, Pavel Váchal

Cvičící:

Martin Jirka, Dominika Jochcová, Jiří Löffelmann, Jan Vábek, Pavel Váchal

Předmět zajišťuje:

katedra laserové fyziky a fotoniky

Anotace:

Jsou vysvětleny základní principy numerické matematiky důležité pro numerické řešení fyzikálních a technických úloh. Vedle základních numerických úloh jsou zařazeny i problémy důležité pro fyziky (řešení obyčejných diferenciálních rovnic, generátory náhodných čísel). K ukázkám během přednášek slouží integrovaný výpočetní systém MATLAB. Cvičení se konají v počítačové učebně, jsou používány běžné programovací jazyky.

Požadavky:

Požadované vstupní znalosti:

- Základní znalost lineární algebry a matematické analýzy (např. praktické použití Taylorova rozvoje; řešení soustav lineárních rovnic; znalost kvadratických forem, norem a skalárního součinu, vlastních čísel a vlastních vektorů; použití substituce při integraci; základy víceproměnné analýzy parciální derivace, Taylorův rozvoj, ...) v rozsahu poskytovaném příslušnými kurzy FNSPE (kterákoli z matematických větví v prvních třech semestrech).

- Základní znalost programování (ekvivalentní rozsahu předmětu 18ZPRO/18YZPRO).

Programovací jazyky:

Python a MATLAB se používají pro demonstrace během přednášek a cvičení. Tyto jazyky jsou také preferovány pro řešení úloh na cvičeních a v rámci zápočtu. Standardní programovací jazyky používané v numerice jsou rovněž povoleny (C, C++, Fortran, Java, Julia). Jiné jazyky je možné použít po schválení vyučujícími předmětu.

Požadavky pro úspěšné absolvování předmětu:

Pro udělení zápočtu je požadováno:

- Individuálně vypracovat malý projekt související s obsahem cvičení. Správné řešení projektu je následně buď prezentováno ostatním studentům, nebo doplněno protokolem. Splnění kontroluje tutor předmětu.

- Nejvýše dvě absence na cvičeních. Další dvě absence jsou možné po vypracování druhého malého projektu (za stejných podmínek jako v předchozím bodě). Více absencí je možné pouze s oficiálním lékařským (nebo obdobným) potvrzením a s dodatečnou prací hodnocenou individuálně.

Zkouška:

- Ústní zkouška pokrývající obsah předmětu.

- Zkoušku je možné podmíněně absolvovat před koncem zkouškového období bez uděleného zápočtu; výsledek je potvrzen po udělení zápočtu. Po tomto termínu je možné zkoušku absolvovat pouze se zápočtem.

Osnova přednášek:

1.Numerická matematika, chyba metody, reprezentace čísel v počítači, zaokrouhlovací chyba

2.Korektnost a podmíněnost úlohy, numerická stabilita, numerické knihovny

3.Řešení systémů lineárních rovnic - přímé metody

4.Řídké matice, interpolační metody řešení systémů lineárních rovnic; vlastní čísla a vektory

5.Interpolace a extrapolace, interpolace ve více dimenzích

6.Čebyševova aproximace, Čebyševovy polynomy, aproximace metodou nejmenších čtverců

7.Výpočet funkcí; třídění

8.Hledání kořenů nelineární rovnice a řešení systémů nelineárních rovnic

9.Hledání extrémů funkcí

10.Numerická integrace

11.Náhodná čísla a integrace metodou Monte Carlo

12.Obyčejné diferenciální rovnice - počáteční úloha, rovnice se silným tlumením („stiff“)

13.Obyčejné diferenciální rovnice - okrajová úloha

Osnova cvičení:

Cvičení se konají v počítačové učebne. Je používán systém MATLAB jako základní programovací jazyk i jako demonstrační nástroj.

1. Reprezentace čísel v počítači, zakrouhlovací chyba, podmíněnost úlohy

2.Řešení systémů lineárních rovnic - přímé metody, podmíněnost matice

3.Řídké matice, interpolační metody řešení systémů lineárních rovnic; vlastní čísla a vektory

4.Interpolace a extrapolace, kubický spline

5.Čebyševova aproximace, Čebyševovy polynomy, aproximace metodou nejmenších čtverců

6.Výpočet funkcí

7.Hledání kořenů nelineární rovnice a řešení systémů nelineárních rovnic

8.Hledání extrémů funkcí

9.Numerická integrace

10.Obyčejné diferenciální rovnice - počáteční úloha

11.Obyčejné diferenciální rovnice - okrajová úloha

Cíle studia:

Znalosti:

- Základní principy numerické matematiky důležité pro numerické řešení fyzikálních a technických úloh včetně řešení obyčejných diferenciálních rovnic.

Schopnosti:

- Používat numerickou matematiku k řešení praktických úloh, umět vybrat z programů v numerických knihovnách a být schopen se vyvarovat nejběžnějších chyb.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, V. H. Vetterling: Numerical Recipes in C++ (The art of scientific computing), Cambridge University Press, 3. vydání, Cambridge 2007 (stejná kniha pro FORTRAN, 2.vydání 1993 a jazyk C, 2.vydání 1993) (dostupné na http://www.numerical.recipes/oldverswitcher.html)

Doporučená literatura:

[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky, Praha, Academia 1973

[3] M. Nekvinda, J. Šrubař, J. Vild: Úvod do numerické matematiky, Praha, SNTL 1976

[4] B.P. Demidovič, I.A. Maron: Základy numerické matematiky, Praha, SNTL 1966

Studijní pomůcky:

Běžně vybavená počítačová laboratoř.

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2025/2026:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2025/2026:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Fyzikální inženýrství - Počítačová fyzika (PS)
• Kvantové technologie (povinný předmět programu)
• Jaderná a částicová fyzika (povinný předmět programu)
• Fyzikální inženýrství - Fyzika plazmatu a termojaderné fúze (PS)
• Fyzikální inženýrství - Inženýrství pevných látek (PS)
• Fyzikální inženýrství - Laserová technika a fotonika (PS)