Lieovy grupoidy a algebroidy

Garant předmětu:

Jan Vysoký

Přednášející:

Jan Vysoký

Cvičící:

Jan Vysoký

Předmět zajišťuje:

katedra fyziky

Anotace:

Lieovy grupy a algebry jsou bezesporu pilířem moderní teoretické fyziky a diferenciální geometrie. Ukazuje se, že v jistých situacích (symetrie závisející na bodě, netranzitivní akce Lieových grup) je tento koncept vhodné rozšířit.

Grupoidy jsou přirozeným zobecněním grup. Zjednodušeně řečeno, grupové prvky jsou nahrazeny „šipkami“, které lze asociativně násobit pouze v případě, že na sebe v jistém smyslu „navazují“. Ilustrativním příkladem je přechod od grupy homotopických tříd smyček v daném bodě ke grupoidu homotopických tříd obecných křivek. Jsou-li všechny účastné množiny varietami a příslušné operace hladké, mluvíme o Lieových grupoidech. Jak již název napovídá, Lieovy algebroidy jsou jím odpovídajícím „infinitesimálním objektem“. Matematicky se jedná o vektorové fibrované prostory, jejichž modul hladkých řezů tvoří Lieovu algebru.

Na přednášce si ukážeme základní pojmy a konstrukce, zejména řadu příkladů Lieových grupoidů/algebroidů napříč diferenciální geometrií. Ukážeme si jejich význam v Poissonově a symplektické geometrii.

Od posluchače se předpokládá dobrá znalost základních pojmů z diferenciální gometrie, zejména z Lieovy teorie a teorie hlavních fibrovaných prostorů.

Požadavky:

Osnova přednášek:

1.Lieovy grupoidy

2.Tranzitivita a lokální trivialita

3.Biřezy a akce

4.Algebraické konstrukce s Lieovými grupoidy

5.Lieovy algebroidy

6.Lieův funktor

7.Exponenciální zobrazení, adjungované reprezentace

8.Algebraické konstrukce s Lieovými algebroidy

9.Poissonovy struktury a Lieovy algebroidy

10.Poissonovy a symplektické Lieovy grupoidy

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] K. Mackenzie: General theory of Lie groupoids and Lie algebroids. Cambridge University Press, 2005.

[2] I. Moerdijk, J. Mrcun: Introduction to Foliations and Lie groupoids. Cambridge University Press, 2003.

Doporučená literatura:

[3] J. Pradines: In Ehresmann‘s footsteps: from Group Geometries to Groupoid Geometries. Banach Center Publications vol. 76, 87-157, 2007.

[4] A. Weinstein: Poisson geometry. Differential geometry and its applications 9(1-2), 213-238, 2007.

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů: