Logo ČVUT
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
STUDIJNÍ PLÁNY
2023/2024

Lieovy grupoidy a algebroidy

Přihlášení do KOSu pro zápis předmětu Zobrazit rozvrh
Kód Zakončení Kredity Rozsah
D02LGLA ZK
Garant předmětu:
Jan Vysoký
Přednášející:
Jan Vysoký
Cvičící:
Jan Vysoký
Předmět zajišťuje:
katedra fyziky
Anotace:

Lieovy grupy a algebry jsou bezesporu pilířem moderní teoretické fyziky a diferenciální geometrie. Ukazuje se, že v jistých situacích (symetrie závisející na bodě, netranzitivní akce Lieových grup) je tento koncept vhodné rozšířit.

Grupoidy jsou přirozeným zobecněním grup. Zjednodušeně řečeno, grupové prvky jsou nahrazeny „šipkami“, které lze asociativně násobit pouze v případě, že na sebe v jistém smyslu „navazují“. Ilustrativním příkladem je přechod od grupy homotopických tříd smyček v daném bodě ke grupoidu homotopických tříd obecných křivek. Jsou-li všechny účastné množiny varietami a příslušné operace hladké, mluvíme o Lieových grupoidech. Jak již název napovídá, Lieovy algebroidy jsou jím odpovídajícím „infinitesimálním objektem“. Matematicky se jedná o vektorové fibrované prostory, jejichž modul hladkých řezů tvoří Lieovu algebru.

Na přednášce si ukážeme základní pojmy a konstrukce, zejména řadu příkladů Lieových grupoidů/algebroidů napříč diferenciální geometrií. Ukážeme si jejich význam v Poissonově a symplektické geometrii.

Od posluchače se předpokládá dobrá znalost základních pojmů z diferenciální gometrie, zejména z Lieovy teorie a teorie hlavních fibrovaných prostorů.

Požadavky:
Osnova přednášek:

1.Lieovy grupoidy

2.Tranzitivita a lokální trivialita

3.Biřezy a akce

4.Algebraické konstrukce s Lieovými grupoidy

5.Lieovy algebroidy

6.Lieův funktor

7.Exponenciální zobrazení, adjungované reprezentace

8.Algebraické konstrukce s Lieovými algebroidy

9.Poissonovy struktury a Lieovy algebroidy

10.Poissonovy a symplektické Lieovy grupoidy

Osnova cvičení:
Cíle studia:
Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] K. Mackenzie: General theory of Lie groupoids and Lie algebroids. Cambridge University Press, 2005.

[2] I. Moerdijk, J. Mrcun: Introduction to Foliations and Lie groupoids. Cambridge University Press, 2003.

Doporučená literatura:

[3] J. Pradines: In Ehresmann‘s footsteps: from Group Geometries to Groupoid Geometries. Banach Center Publications vol. 76, 87-157, 2007.

[4] A. Weinstein: Poisson geometry. Differential geometry and its applications 9(1-2), 213-238, 2007.

Poznámka:
Rozvrh na zimní semestr 2023/2024:
Rozvrh není připraven
Rozvrh na letní semestr 2023/2024:
Rozvrh není připraven
Předmět je součástí následujících studijních plánů:
Platnost dat k 12. 7. 2024
Aktualizace výše uvedených informací naleznete na adrese https://bilakniha.cvut.cz/cs/predmet7762806.html