Linear Algebra

Garant předmětu:

Martina Bečvářová

Přednášející:

Martina Bečvářová

Cvičící:

Martina Bečvářová

Předmět zajišťuje:

katedra aplikované matematiky

Anotace:

Vektorové prostory (lineární kombinace vektorů, závislost vektorů, dimenze, báze, souřadnice). Matice a maticové operace. Soustavy lineárních rovnic a jejich řešení. Determinanty a jejich aplikace. Skalární součin vektorů. Podobnost matic (vlastní čísla a vlastní vektory). Kvadratické formy a jejich klasifikace.

Požadavky:

Vstupní požadavky: znalost středoškolské matematiky na úrovni maturitní zkoušky.

Zápočet: aktivní účast na cvičení, zvládnutí zápočtové prověrky (požadavky k získání zápočtu jsou na webové stránce předmětu).

Zkouška: písemná část (6 početních příkladů a 3 teoretické otázky), ústní část (prověření praktických početních dovedností a teoretických znalostí). Podrobnější informace jsou na webové stránce předmětu:

https://www.fd.cvut.cz/personal/becvamar/Linearni%20algebra.html

Osnova přednášek:

1. Vektorový prostor nad tělesem R a C, příklady prostorů. Podprostory vektorového prostoru, příklady podprostorů. Lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost vektorů, příklady. Průnik a spojení podprostorů.

2. Generátory vektorového prostoru, lineární obal množiny vektorů, dimenze a báze vektorového prostoru. Souřadnice vektoru vzhledem k bázi. Transformace souřadnic.

3. Matice. Základní maticové operace a jejich vlastnosti. Transponování matic. Speciální typy matic a jejich vlastnosti (diagonální, trojúhelníková, symetrická, antisymetrická, hermitovská). Vektorový prostor matic. Matice jako lineární zobrazení.

4. Elementární transformační úpravy. Hodnost matice. Matice singulární, regulární, inverzní matice. Výpočet inverzní matice.

5. Soustava lineárních homogenních rovnic. Struktura řešení. Soustava nehomogenních lineárních rovnic. Existence řešení. Struktura řešení. Gaussova eliminační metoda. Soustavy lineárních rovnic s parametry a jejich řešitelnost. Maticové rovnice.

6. Determinant. Definice determinantu, vlastnosti determinantu. Základní metody výpočtu determinantu. Rozvoj determinantu.

7. Užití determinantů. Cramerovo pravidlo, výpočet inverzní matice, hodnosti matice, obsahu rovnoběžníku, objemu čtyřstěnu a rovnoběžnostěnu. Příklady.

8. Skalární součin vektorů, velikost vektoru, úhel vektorů. Ortogonální a ortonormální báze. Ortogonalizační proces. Ortogonální matice. Vektorový součin. Příklady použití skalárního a vektorového součinu v analytické geometrii.

9. Podobnost matic, vlastní čísla, vlastní vektory, zobecněné vlastní vektory. Řešení vzorových příkladů.

10. Transformační matice. Jordanova buňka, Jordanův kanonický tvar. Řešení vzorových příkladů.

11. Kvadratické formy. Maticová reprezentace. Analytické vyjádření kvadratické formy. Vyjádření vzhledem k polární bázi a vzhledem k normální bázi. Klasifikace forem, signatura formy, zákon setrvačnosti. Řešení vzorových příkladů.

12. Metody klasifikace forem v reálném oboru (algebraické úpravy analytického vyjádření, symetrické úpravy matice, metoda hlavních horních minorů, vlastní čísla). Řešení vzorových příkladů.

Osnova cvičení:

1. Příklady vektorových prostorů a podprostorů. Lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost vektorů.

2. Generátory vektorového prostoru, dimenze a báze vektorového prostoru. Souřadnice vektoru vzhledem k bázi.

3. Matice, operace s maticemi. Transponování matic. Elementární transformační úpravy. Hodnost matice. Speciální typy matic a jejich vlastnosti.

4. Inverzní matice. Maticové rovnice.

5. Soustava lineárních homogenních rovnic. Soustava nehomogenních lineárních rovnic. Gaussova eliminační metoda. Soustavy lineárních rovnic s parametry a jejich řešitelnost.

6. Metody výpočtu determinantu. Cramerovo pravidlo, výpočet inverzní matice, obsah rovnoběžníku, objem čtyřstěnu a rovnoběžnostěnu.

Vzorové příklady k látce z bodů 9 až 12 budou probírány na přednáškách.

Cíle studia:

Osvojení základních pojmů a metod lineární algebry a jejich aplikace při řešení standardních příkladů.

Studijní materiály:

J. Nagy, J. Taufer, Algebra, ČVUT, Praha, 1997, skriptum FD ČVUT.

J. Bečvář, Lineární algebra, Matfyzpress, Praha, 2000.

L. Motl, M. Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, UK, Karolinum, Praha, 1995.

https://www.fd.cvut.cz/personal/becvamar/Linearni%20algebra.html.

Prezentace přednášek a cvičení, informace o průběhu přednášek a cvičení, rozšiřující a doplňující studijní opory, podmínky pro získání zápočtu a informace o průběhu zkoušek, příklady na procvičení látky atd. jsou dostupné online na výše uvedené webové stránce předmětu.

Poznámka:

Poznámka učitele Martina Bečvářová:

+Erasmus

Další informace:

http://www.fd.cvut.cz/personal/becvamar/Linearni%20algebra.html (český jazyk), https://www.fd.cvut.cz/personal/becvamar/Linearni%20algebra%20-%20anglicky/Linear%20algebra.html (anglický jazyk)

Rozvrh na zimní semestr 2023/2024:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2023/2024:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Prospectus-Bachelor (volitelný předmět odborný)