Funkcionální analýza 3

Podmínkou zápisu na předmět 01FAN3 je, že student úspěšně absolvoval 01FAN2 nebo získal zápočet a nevyčerpal všechny zkouškové termíny předmětu 01FAN2. Předmět 01FAN3 lze klasifikovat až po úspěšné klasifikaci předmětu 01FAN2

Garant předmětu:

Pavel Šťovíček

Přednášející:

Pavel Šťovíček

Cvičící:

Pavel Šťovíček

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Pokročilé partie funkcionální analýzy potřebné pro pochopení mezi jiným teorie reprezentací Lieových grup a současné

kvantové teorie. Přednáška se zaměřuje na kompaktní operátory a ideály kompaktních operátorů, na neomezené

samosdružené operátory a teorii samosdružených rozšíření symetrických operátorů, dále na Stoneovu větu, kvadratické

formy a Bochnerův integrál. Závěr přednášky je věnován základům Banachových algeber a C*-algeber.

Požadavky:

kurz funkce komplexní proměnné a základy funkcionální analýzy

Osnova přednášek:

1. Shrnutí a přehled: základy teorie Banachových a Hilbertových prostorů, omezené lineární operátory, uzavřené lineární

operátory, Hilbertovy-Schmidtovy operátory, omezené samosdružené operátory.

2. Tenzorový součin Hilbertových prostorů.

3. Kompaktní operátory v Banachových a Hilbertových prostorech.

4. Ideály kompaktních operátorů.

5. Symetrické operátory, samosdružené operátory, samosdružrná rozšíření symetrických operátorů.

6. Spektrální věta pro neomezené samosdružené operátory.

7. Jednoparametrické grupy unitárních operátorů, Stoneova věta.

8. Kvadratické formy, věta o reprezentaci, Friedrichsovo rozšíření.

9. Bochnerův integrál.

10. Banachovy algebry, C*-algebry.

Osnova cvičení:

1. Opakování vlastností omezených operátorů na Hilbertových prostorech

2. Kompaktní operátory

3. Symetrické, samosdružené, uzavřené operátory, esenciální spektrum

Cíle studia:

Znalosti:

Dokončit studium základů funkcionální analýzy se zaměřením na současnou moderní kvantovou teorii a na řešení úloh ve fyzikálních a technických aplikacích. Obsáhnout pokročilejší partie funkcionální analýzy potřebné především pro pochopení současné moderní kvantové teorie.

Schopnosti:

Řešení pokročilých úloh s vazbou na fyzikální a technické aplikace.

Studijní materiály:

Povinná literatura

[1] J. Blank, P. Exner, M. Havlíček: Lineární operátory v kvantové fyzice, Karolinum, Praha, 1993.

[2] B. Simon: Operator Theory: A Comprehensive Course in Analysis, Part 4, AMS, Rhode Island, 2015.

[3] K. Yoshida, Functional Analysis, Springer Science & Business Media, New York 2013

[4] J. B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer Science & Business Media, New York 2013

Doporučená literatura

[5] W. Rudin: Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia, Praha, 2003.

[6] A. E. Taylor: Úvod do funkcionální analýzy, Academia, Praha, 1973.

[7] A. N. Kolmogrov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha, 1975.

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2023/2024:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2023/2024:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Aplikovaná algebra a analýza (povinný předmět programu)
• Matematická fyzika (volitelný předmět)
• Matematické inženýrství (povinný předmět programu)