Funkcionální analýza 3

Vztahy:

Podmínkou zápisu na předmět 01FAN3 je, že student úspěšně absolvoval 01FAN2 nebo získal zápočet a nevyčerpal všechny zkouškové termíny předmětu 01FAN2. Předmět 01FAN3 lze klasifikovat až po úspěšné klasifikaci předmětu 01FAN2

Garant předmětu:

Pavel Šťovíček

Přednášející:

Pavel Šťovíček

Cvičící:

Pavel Šťovíček

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Vybrané partie funkcionální analýzy potřebné pro pochopení mezi jiným teorie reprezentací Lieových grup a současné kvantové teorie.

Kapitoly:

1. Tenzorový součin vektorových prostorů.

2. Kompaktní operátory (podrobně se všemi důkazy).

3. Ideály kompaktních operátorů v Hilbertových prostorech.

4. Neomezené samosdružené operátory a teorie samosdružených rozšíření symetrických operátorů.

Požadavky:

Zápočet se uděluje za aktivní účast na cvičeních, požaduje se účast na nejméně polovině cvičení, dvě absence se automaticky tolerují, další absence lze nahradit vypracováním zadaného příkladu. Zkoušku je možné složit až po získání zápočtu. Skládá se z písemné a ústní části. Příklad v písemné části má často teoretický charakter. Pro úspěšné absolvování ústní zkoušky je nutná znalost základních pojmů a vět z celé probrané látky. Pro hodnocení stupněm A nebo B je nutná i znalost důkazů vět.

Osnova přednášek:

1. Tenzorový součin vektorových prostorů.

2. Kompaktní operátory v Banachových a Hilbertových prostorech.

3. Ideály kompaktních operátorů.

4. Symetrické operátory, samosdružené operátory, samosdružrná rozšíření symetrických operátorů.

Dodatky:

5. Spektrální věta pro neomezené samosdružené operátory.

6. Jednoparametrické grupy unitárních operátorů, Stoneova věta.

Osnova cvičení:

1. Opakování vlastností omezených operátorů na Hilbertových prostorech

2. Kompaktní operátory

3. Symetrické, samosdružené, uzavřené operátory, esenciální spektrum

Cíle studia:

Znalosti:

Dokončit studium základů funkcionální analýzy se zaměřením na současnou moderní kvantovou teorii a na řešení úloh ve fyzikálních a technických aplikacích. Obsáhnout pokročilejší partie funkcionální analýzy potřebné především pro pochopení současné moderní kvantové teorie.

Schopnosti:

Řešení pokročilých úloh s vazbou na fyzikální a technické aplikace.

Studijní materiály:

Povinná literatura

[1] J. Blank, P. Exner, M. Havlíček: Lineární operátory v kvantové fyzice, Karolinum, Praha, 1993.

[2] B. Simon: Operator Theory: A Comprehensive Course in Analysis, Part 4, AMS, Rhode Island, 2015.

[3] K. Yoshida, Functional Analysis, Springer Science & Business Media, New York 2013

[4] J. B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer Science & Business Media, New York 2013

Doporučená literatura

[5] W. Rudin: Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia, Praha, 2003.

[6] A. E. Taylor: Úvod do funkcionální analýzy, Academia, Praha, 1973.

[7] A. N. Kolmogrov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha, 1975.

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2025/2026:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2025/2026:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Aplikovaná algebra a analýza (povinný předmět programu)
• Matematická fyzika (volitelný předmět)
• Matematické inženýrství (povinný předmět programu)