Lieovy algebry a grupy

Garant předmětu:

Libor Šnobl

Přednášející:

Libor Šnobl

Cvičící:

Libor Šnobl

Předmět zajišťuje:

katedra fyziky

Anotace:

Přednáška si klade za cíl seznámit posluchače se základními pojmy teorie Lieových grup a algeber, a jejich konečněrozměrných reprezentací. Posluchač se též důkladně seznámí s Cartanovou klasifikací prostých komplexních Lieových algeber, která je fundamentálním výsledkem této oblasti matematiky, vč. jeho odvození. Důraz je kladen na detailní seznámení s příklady studovaných struktur a na jejich aplikace.

Požadavky:

Osnova přednášek:

1. Přehled základních pojmů z diferenciální geometrie: diferencovatelná varieta, tečné vektory, tečný prostor, vek- torové pole a jeho integrální křivky, komutátor vektorových polí, tečné zobrazení, vnější algebra diferenciálních forem, vnější a Lieova derivace, Poincaréovo lemma, pullback forem

2. Lieova grupa a Lieova algebra – definice, exponenciální zobrazení, toky levoinvariantních vektorových polí, maticové grupy a algebry, nejednoznačnost ve vztahu Lieových grup a algeber, klasifikace souvislých Lieových grup s danou algebrou

3. Podgrupy a podalgebry, akce grupy, cosety, podgrupa izotropie, homogenní prostory, příklady prostorů a prostoročasů s tranzitivní akcí grupy symetrií jako homogenních prostorů

4. Reprezentace Lieovy grupy, resp. algebry, adjungovaná reprezentace, ireducibilita reprezentací, Schurovo lemma, příklady úplně reducibilních reprezentací

5. Základní třídy Lieových algeber, Leviho věta o rozkladu na radikál a poloprostý Leviho faktor, klasifikace Lieových algeber nad R a nad C v dimenzích 1, 2, 3 a jejich vlastnosti

6. Nilpotentní Lieovy algebry, Engelova věta a její formulace pro maticové Lieovy algebry

7. Řešitelné Lieovy algebry, Lieova věta, vlastnosti derivované algebry řešitelné algebry

8. Killingova forma, Cartanova kritéria na určení poloprostoty resp. řešitelnosti dané algebry, rozložitelnost

poloprostých algeber na prosté ideály

9. Cartanova podalgebra a systém kořenů, jejich vlastnosti, Weylova-Chevalley normální forma poloprosté

Lieovy algebry, klasifikace prostých Lieových algeber nad C, kořenové a Dynkinovy diagramy

10. Konečněrozměrné reprezentace prostých Lieových algeber nad C, váhy a váhové diagramy, grupa SU(3) a

její aplikace pro klasifikaci elementárních částic.

Osnova cvičení:

Příklady matematických struktur definovaných během přednášek, ukázky jejich využití v matematice a teoretické fyzice, detailní důkazy některých jednodušších tvrzení z přednášek.

Cíle studia:

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] R. Gilmore: Lie Groups, Physics and Geometry, Cambridge University Press 2008.

[2] A. P. Isaev, V. A. Rubakov: Theory of Groups and Symmetries: Finite Groups, Lie Groups, and Lie Algebras, World Scientific 2018.

Doporučená literatura:

[3] L. Šnobl, P. Winternitz: Classification and Identification of Lie Algebras, American Mathematical Society 2014.

[4] D. H. Sattinger, O.L. Weaver: Lie Groups and Algebras, Springer Verlag 1986.

[5] K. Erdmann, M.J. Wildon: Introduction to Lie Algebras, Springer Verlag 2006.

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:

	06:00–08:0008:00–10:0010:00–12:0012:00–14:0014:00–16:0016:00–18:0018:00–20:0020:00–22:0022:00–24:00
Po	místnost BR:11 Šnobl L. 12:00–13:50 (přednášková par. 1) Břehová 7 učebna 11
Út
St
Čt
Pá	místnost TR:211 Šnobl L. 08:00–09:50 (přednášková par. 1) Trojanova 13 učebna 211místnost TR:211 Šnobl L. 10:00–11:50 (paralelka 101) Trojanova 13 učebna 211

Rozvrh na letní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Matematická fyzika (povinný předmět programu)