Biomechanika a biomateriály

Garant předmětu:

Matej Daniel

Přednášející:

Matej Daniel, Martin Otáhal

Cvičící:

Matej Daniel, Martin Otáhal, Zdeněk Petřivý

Předmět zajišťuje:

katedra přírodovědných oborů

Anotace:

Cílem předmětu je poskytnout studentům ucelený základ v matematických a mechanických principech mechaniky kontinua a ukázat jejich aplikaci při popisu chování biologických tkání. Studenti se naučí analyzovat kinematiku, napjatost a deformační odezvu (elasticitu, viskoelasticitu, proudění tekutin) a porozumí komplexnějším modelům, jako je teorie směsí, které jsou klíčové pro pochopení funkčnosti materiálů, jako jsou kosti, šlachy, krev nebo chrupavky.

Požadavky:

Podmínky pro udělení zápočtu

Požadovaná účast ve výuce.

Zisk minimálně 50 % bodů ze závěrečného zápočtového testu.

Požadavky u zkoušky

Zkouška ověřuje schopnost samostatné aplikace znalostí. Pro úspěšné složení je nutné správně vyřešit:

2 praktické příklady (aplikace teorie na konkrétní problémy).

1 teoretické odvození (dle témat probíraných na přednáškách).

Osnova přednášek:

BLOK 1: Matematické a mechanické základy (Týdny 15)

Týden 1: Úvod do biomechaniky kontinua a tenzorová algebra

Představení předmětu. Proč mechanika kontinua v biologii?

Pojem kontinua vs. reálné tkáně.

Základy tenzorové algebry: definice skalárů, vektorů a tenzorů.

Operace s tenzory (sčítání, násobení, transpozice, dyadický součin).

Týden 2: Tenzorová analýza a kinematika

Tenzorová analýza: Gradient (vektorový, tenzorový), divergence (vektorová, tenzorová).

Invarianty tenzoru.

Kinematika kontinua: Popis pohybu (Lagrangeovský vs. Eulerovský popis).

Týden 3: Kinematika Deformace

Deformační gradient a jeho rozklad.

Tenzory deformace: Green-Lagrangeův tenzor (konečné deformace), Euler-Almansiho tenzor.

Lineární tenzor deformace (malé deformace).

Rychlost deformace a tenzor vířivosti.

Týden 4: Analýza napjatosti

Pojem napětí, povrchové a objemové síly.

Cauchyho tenzor napětí.

Rovnice rovnováhy sil (bez zrychlení).

Hlavní napětí a hlavní směry, Mohrova kružnice.

Týden 5: Zákony zachování

Odvození obecné rovnice zachování (Reynoldův transportní teorém).

Zákon zachování hmotnosti (rovnice kontinuity).

Zákon zachování hybnosti (Cauchyho rovnice pohybu).

Zákon zachování momentu hybnosti (symetrie tenzoru napětí).

BLOK 2: Elasticita a Hyperelasticita (Týdny 68)

Týden 6: Obecná elasticita a hyperelasticita

Úvod do konstitutivních rovnic.

Definice elastického materiálu.

Obecná izotropní elasticita.

Hyperelasticita (konečné deformace): Funkce hustoty deformační energie.

Příklady modelů (Neo-Hookean, Mooney-Rivlin).

Týden 7: Aplikace hyperelasticity a úvod do lineární elasticity

Modelování biologických tkání podléhajících velkým deformacím.

Aplikace: Biomechanika šlach a vazů (nelineární odezva).

Přechod k malým deformacím: Lineární elasticita.

Týden 8: Lineární elasticita

Hookeův zákon pro izotropní materiál.

Materiálové konstanty (Youngův modul pružnosti, Poissonovo číslo, smykový modul, objemový modul) a vztahy mezi nimi.

Řešení klasických problémů (prostý tah/tlak, krut, ohyb).

Aplikace: Mechanika kosti v oblasti malých deformací.

BLOK 3: Lineární viskoelasticita (Týdny 911)

Týden 9: Úvod do viskoelasticity a diferenciální modely

Fenomenologie viskoelasticity: Creep (dotvarování) a stresová relaxace.

Rozdíl oproti čisté elasticitě a čisté viskozitě.

Diferenciální popis: Základní modely pružin a tlumičů.

Maxwellův model (tekutina) a Kelvin-Voigtův model (těleso).

Týden 10: Pokročilé modely a integrální popis

Standardní lineární těleso (SLT) popis pevné látky vykazující relaxaci.

Integrální popis: Funkce creepu a relaxační funkce.

Boltzmannův princip superpozice.

Týden 11: Dynamická analýza a princip korespondence

Analýza dynamického (harmonického) zatěžování.

Komplexní modul (skladovací a ztrátový modul).

Princip korespondence: Vztah mezi elastickým a viskoelastickým řešením problému.

BLOK 4: Spřažené teorie a teorie směsí (Týdny 1214)

Týden 12: Spřažené teorie

Úvod do multifyzikálních problémů.

Stručný přehled poroelasticity: Interakce pórovité pevné matrice a tekutiny (např. v kosti).

Stručný přehled termoelasticity: Vliv změny teploty na napjatost a deformaci.

Týden 13: Teorie směsí a dvoufázová teorie

Úvod do teorie směsí (Mixture Theory).

Detailní zaměření na dvoufázovou teorii (Biphasic theory) pevná a tekutá fáze.

Odvození řídících rovnic.

Aplikace: Biomechanika kloubní chrupavky.

Týden 14: Aplikace dvoufázové teorie a shrnutí

Řešení problémů vázané komprese (confined compression) creep a relaxace.

Aplikace: Biomechanika meziobratlové ploténky.

Shrnutí kurzu, diskuze, rezerva.

Osnova cvičení:

Týden 1: Úvod do biomechaniky kontinua a tenzorová algebra

Týden 2: Tenzorová analýza a kinematika

Týden 3: Kinematika Deformace

Týden 4: Analýza napjatosti

Týden 5: Zákony zachování

Týden 6: Obecná elasticita a hyperelasticita

Týden 7: Aplikace hyperelasticity a úvod do lineární elasticity

Týden 8: Lineární elasticita

Týden 9: Úvod do viskoelasticity a diferenciální modely

Týden 10: Pokročilé modely a integrální popis

Týden 11: Dynamická analýza a princip korespondence

Týden 12: Spřažené teorie

Týden 13: Teorie směsí a dvoufázová teorie

Týden 14: Závěrečný zápočtový test.

Cíle studia:

Osvojit si klíčové matematické (tenzory) a mechanické (kinematika, napjatost) koncepty mechaniky kontinua.

Naučit se aplikovat teorie elasticity, hyperelasticity a viskoelasticity pro popis chování biologických materiálů, jako jsou kosti, šlachy a vazy. Seznámit se s pokročilými spřaženými modely (poroelasticita) a teoriemi směsí (dvoufázový model) pro analýzu komplexních tkání, jako je chrupavka.

Studijní materiály:

Athanasiou, K. A., & Natoli, R. M. (2012). Introduction to Continuum Biomechanics. Morgan & Claypool Publishers.

Fung, Y. C. (1993). Biomechanics: Mechanical Properties of Living Tissues. Springer-Verlag.

Fung, Y. C. (1977). A First Course in Continuum Mechanics. Prentice-Hall.

Ethier, C. R., & Simmons, C. A. (2007). Introductory Biomechanics: From cells to organisms. Cambridge University Press.

Mase, G. E., & Mase, G. T. (1999). Continuum Mechanics for Engineers. CRC Press.

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2025/2026:

	06:00–08:0008:00–10:0010:00–12:0012:00–14:0014:00–16:0016:00–18:0018:00–20:0020:00–22:0022:00–24:00
Po	místnost KL:B-137 Otáhal M. 12:00–13:50 (přednášková par. 1) Kladno FBMI Učebnamístnost KL:B-326 Daniel M. Otáhal M. 14:00–15:50 (přednášková par. 1) Kladno FBMI Učebna
Út
St
Čt
Pá

Rozvrh na letní semestr 2025/2026:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Prospectus - magisterský (!)
• Navazující magisterský studijní program BME v aj (povinný předmět)