Integrální počet

Vztahy:

Podmínkou zápisu na předmět F7PBBITP je, že student úspěšně absolvoval F7PBBLAD nebo získal zápočet a nevyčerpal všechny zkouškové termíny předmětu F7PBBLAD. Předmět F7PBBITP lze klasifikovat až po úspěšné klasifikaci předmětu F7PBBLAD

Úspěšná klasifikace předmětu F7PBBITP je podmínkou pro následnou klasifikaci předmětu F7PBBFVP

Garant předmětu:

Tomáš Parkman

Přednášející:

Jiří Neustupa

Cvičící:

Tomáš Parkman

Předmět zajišťuje:

katedra přírodovědných oborů

Anotace:

Předmět je úvodem do integrálního počtu a integrálních transformací.

Integrální počet: teoretické poznatky týkající se neurčitého, určitého a nevlastního integrálu včetně výpočetních metod, jednoduché aplikace určitého integrálu pro výpočet obsahu rovinných ploch, objemů a ploch rotačních těles, statických momentů a těžišť i aplikace integrálu při řešení vybraných typů diferenciálních rovnic.

Úvod do integrálních transformací: Laplaceova a zpětná Laplaceova transformace a jejich užití při řešení diferenciálních rovnic.

Požadavky:

Forma způsobu ověření studijních výsledků a další požadavky na studenta

A - Povinná účast na cvičeních, absence musí být řádně omluveny předem a následně doloženy např. lékařským potvrzením. Maximálně tři řádně omluvené absence. Na cvičeních je hodnocena aktivní účast (max. 5 body za semestr, a ty jsou připočítány k hodnocení ke zkoušce).

Účast na přednáškách není povinná, pokud se však student na přednášku nedostaví, je povinen si probíranou látku doplnit samostudiem a do cvičení musí přijít připraven.

B - Znalosti v rozsahu jednotlivých témat přednášek jsou prověřeny dvěma polo-semestrálními testy, které studenti absolvují v jednotném termínu společně v polovině a na konci semestru dle harmonogramu výuky předmětu pro daný akademický rok. Při testech jsou povoleny kalkulačky s certifikátem k DT maturitní zkoušky z matematiky (tj. neprogramovatelné, bez integrálů a řešení rovnic) a seznam vzorců, který bude součástí zadání testu.

Podmínkou udělení zápočtu je splnění bodu A a zisk minimálně 50 % bodů z obou polo-semestrálních testů (každý test max. 40 bodů, minimum pro úspěšné splnění je tedy 40 bodů v součtu).

Podmínkou připuštění ke zkoušce je zápočet zapsaný v KOSu. Zkouška je pouze písemná, trvá 120 minut, povoleny jsou kalkulačky a seznamy vzorců stejné jako u polo-semestrálních testů. Zkouška obsahuje převážně početní příklady doplněné teoretickými podotázkami v rozsahu probrané látky na přednáškách. Zkouškový test se sestává z početních úloh z látky probírané na přednáškách a cvičeních doplněných teoretickými podotázkami. Maximální bodový zisk je 75 bodů, pro úspěšné splnění zkouškového testu, musí student získat alespoň polovinu bodů tj. 37,5 bodů). K bodovému zisku zkouškového testu budou připočítány body z obou polo-semestrálních testů takto: bodový zisk nad povinných 50 % děleno 2 (max. 20 bodů) a přičteny body za aktivitu při cvičeních (max. 5 bodů). Celkový počet bodů je tedy (75+20+5) 100.

Hodnocení předmětu: A: 100-90, B: 89-80, C: 79-70, D: 69-60, E: 59-50, F: méně než 50.

Osnova přednášek:

1. Primitivní funkce, neurčitý integrál, základní vlastnosti. Tabulkové integrály, integrace metodou per partes.

2. Substituční metoda. Integrace jednodušších racionálních funkcí - rozklad na parciální zlomky.

3. Integrály parciálních zlomků. Integrace goniometrických funkcí, jejich součinů a mocnin.

4. Určitý (Riemannův) integrál. Geometrický a fyzikální význam. Newton-Leibnizův vzorec. Geometrické a fyzikální aplikace.

5. Nevlastní Riemannův integrál (vlivem funkce, vlivem meze).

6. Funkce dvou proměnných. Graf, limita, spojitost, parciální derivace. Tečná rovina, diferenciál. Derivace ve směru.

7. 1. polosemestrální test.

8. Dvojný integrál. Metody výpočtu: Fubiniho věta, transformace do polárních souřadnic. Geometrické a fyzikální aplikace.

9. Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) 1. řádu se separovatelnými proměnnými. Počáteční podmínka, Cauchyova úloha. Jednoduché aplikace.

10. Lineární ODR 1. řádu (homogenní i nehomogenní). Metoda variace konstanty.

11. Lineární ODR 2. řádu s konstantními koeficienty (homogenní i nehomogenní). Charakteristická rovnice, fundamentální systém řešení homogenní rovnice, obecné řešení homogenní rovnice.

12. Partikulární řešení nehomogenní rovnice, obecné řešení nehomogenní rovnice. Metody nalezení partikulárního řešení: metoda odhadu a variace konstant.

13. Laplaceova transformace a zpětná Laplaceova transformace. Užití Laplaceovy transformace při řešení ODR.

14. Opakování: řešení různých typů ODR různými metodami. Aplikace v geometrii, ve fyzice, v chemii, v populační dynamice, šíření nákazy, šíření informace, atd.

Osnova cvičení:

1. Neurčité integrály, užití vzorců z tabulky základních neurčitých integrálů, integrace per-partes.

2. Substituční metoda výpočtu neurčitých integrálů. Rozklad jednodušších racionálních funkcí na parciální zlomky.

3. Integrace jednodušších racionálních funkcí. Integrace goniometrických funkcí, jejich součinů a mocnin.

4. Výpočet určitého integrálu, Newton-Leibnizův vzorec, metoda per-partes a substituční metoda v určitém integrálu.

5. Geometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu: obsah rovinné desky, délka křivky, obsahy a povrchy rotačních těles, hmotnost, souřadnice těžiště, apod.

6. Výpočet nevlastních integrálů.

7. Funkce dvou proměnných: výpočty parciálních derivací, tečná rovina, derivace ve směru.

8. Výpočet dvojného integrálu: užití Fubiniho věty a transformace do polárních souřadnic. Geometrické a fyzikální aplikace dvojného integrálu.

9. Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) 1. řádu, řešení metodou separace proměnných, fyzikální i jiné aplikace.

9. Řešení ODR 1. řádu se separovanými proměnnými - metoda separace proměnných.

10. Lineární ODR 1. řádu, variace konstanty.

11. Lineární ODR 2. řádu s konstantními koeficienty. Charakteristická rovnice, fundamentální systém řešení homogenní rovnice, obecné řešení homogenní rovnice.

12. Obecné řešení nehomogenní rovnice, metody nalezení partikulárního řešení: variace konstant a metoda odhadu. Fyzikální aplikace (v mechanice, elektrodynamice, apod.).

13. Užití Laplaceovy transformace při řešení ODR.

14. Opakování a systematizace poznatků před zkouškou.

Cíle studia:

Cílem předmětu je získat základní znalosti z oblastí integrálního počtu (neurčitý integrál, určitý Riemannův integrál, dvojný integrál, aplikace) a obyčejných diferenciálních rovnic (= ODE) (ODE se separovatelnými proměnnými, lineární ODE 1. a 2. řádu s konstantními koeficienty, aplikace).

Studijní materiály:

[1] Tkadlec J.: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné, skriptum ČVUT, 2004

[2] Tkadlec J.: Diferenciální rovnice, Laplaceova transformace, skriptum ČVUT, 2005

[3] Hamhalter J., Tyšer J.: Integrální počet funkcí více proměnných, skriptum ČVUT, 2005

[4] Neustupa J., Kračmar, S.: Sbírka příkladů z Matematiky I., skriptum FS ČVUT

[5] Neustupa J.: Matematika I, skriptum FS ČVUT

[6] http://math.feld.cvut.cz/mt/index.htm

[7] http://math.fme.vutbr.cz

[8] http://www.studopory.vsb.cz

[9] http://dagles.klenot.cz/rihova

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2024/2025:

	06:00–08:0008:00–10:0010:00–12:0012:00–14:0014:00–16:0016:00–18:0018:00–20:0020:00–22:0022:00–24:00
Po	místnost KL:C-1 Neustupa J. 16:00–17:50 (přednášková par. 1) Kladno FBMI C1, Velký sál
Út
St
Čt	místnost KL:B-420 Parkman T. 08:00–09:50 (přednášková par. 1 paralelka 1) Kladno FBMI Učebna
Pá	místnost KL:B-420 Parkman T. 08:00–09:50 (přednášková par. 1 paralelka 2) Kladno FBMI Učebnamístnost KL:B-420 Parkman T. 10:00–11:50 (přednášková par. 1 paralelka 3) Kladno FBMI Učebna

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Bakalářský studijní program Biomedicínská technika (povinný předmět)
• Bakalářský studijní program Biomedicínská technika (povinný předmět)