Kapitoly z vyšší matematiky

Garant předmětu:

Pavel Pták

Přednášející:

Mirko Navara, Pavel Pták

Cvičící:

Mirko Navara, Pavel Pták

Předmět zajišťuje:

katedra kybernetiky

Anotace:

Přednáška přináší některé hlubší výsledky z řady matematických disciplín. Cílem předmětu je umožnit studentům pracovat s výsledky vyšší aplikované matematiky. Samotný obsah předmětu se skládá ze základních výsledků (principů) současné matematiky. Konkrétní náplní bude Stoneova reprezentační věta pro Booleovy algebry (v souvislosti s matematickou logikou a teorií pravděpodobnosti), Banachova věta o pevném bodě pro úplné metrické prostory (v souvislosti s numerickou matematikou), Tichonovova věta o součinu kompaktních prostorů (v souvislosti s teorií míry), Rieszova reprezentační věta o lineárních formách v Hilbertově prostoru (v souvislosti s teorií optimalizace), Browerova věta o spojitém zobrazení simplexů (v souvislosti s lineární algebrou – věta Perronova o vlastních číslech matice), některé pojmy z teorie kategorií pro uživatele, atd. Další obecný přínos předmětu by mělo být jisté povzbuzení studentů v jejich výzkumné práci. Následující seznam naznačuje základní pojmy a oblasti studia tohoto předmětu (konkrétní výběr závisí na zájmu studentů).

Požadavky:

Osnova přednášek:

1. Úvod, metrické prostory

2. Souvislost a křivková souvislost v metrických prostorech

3. Kompaktní metrické prostory

4. Úplné metrické prostory a Banachova věta o pevném bodě

5. Elementární důkaz Základní věty algebry

6. Svazy a Booleovy algebry

7. Stoneova reprezentační věta pro Booleovy algebry

8. Rozšiřování stavů na Booleových algebrách (aplikace Tichonovovy věty)

9. Kategorie a morfismy

10. Normované a Hilbertovy prostory

11. Rieszova reprezentační věta pro lineární formy v Hilbertově prostoru

12. Spernerovo lemma

13. Browerova věta o pevném bodě pro spojitá zobrazení na konvexních množinách v Rn

14. Aplikace Browerovy věty: Perronova věta o vlastních číslech matice

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Studijní materiály:

Povinná literatura:

Hoggar, S. G.:Mathematics for computer graphics. Cambridge University Press, Cambridge, 1992.

Rudin, W.: Functional analysis. Second edition. McGraw-Hill, Inc., New York, 1991.

Doporučená literatura:

Rudin, W.: The Principles of Mathematical Analysis 3rd Edition. McGraw-Hill Publishing Company, 2006

Poznámka:

Další informace:

https://moodle.fel.cvut.cz/courses/XP33CHM

Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Doktorské studium, prezenční forma (povinně volitelný předmět)
• Doktorské studium, kombinovaná forma (povinně volitelný předmět)