Kvantová fyzika

Garant předmětu:

Igor Jex

Přednášející:

Michal Jex

Cvičící:

Michal Jex

Předmět zajišťuje:

katedra fyziky

Anotace:

Přednáška si klade za cíl zformulovat a rozvinout kvantovou teorii jako fyzikálně podloženou, však matematicky rigorózní teorii vybudovanou na principech analýzy omezených a neomezených operátorů na separovatelných Hilbertových prostorech. Předchozí znalost kvantové mechaniky je výhodou, ale ne požadavkem. Centrálním bodem je ustanovení rámcových postulátů teorie a odvození jejich důsledků pro modelové systémy, jakož i podrobná studie nejdůležitějších pozorovatelných veličin. Důraz je kladen na přesnost vyjádření a důkazy vyslovených tvrzení. Diskutovány jsou také možné důsledky nedodržení předpokladů vybraných vět.

Požadavky:

Osnova přednášek:

1. Prohloubení spektrální teorie: projektorová míra a integrace podle ní, esenciální a diskrétní spektrum uzavřeného operátoru, operátorové funkce, samosdružená rozšíření symetrických operátorů, operátory násobení funkcí: vztah mezi průběhem funkce, mírou a spektrem operátoru, spektrální reprezentace samosdruženého operátoru

2. Matematické postuláty kvantové mechaniky: vymezení pojmů, popis stavu systému a pozorovatelných, průběhu a výsledků měření, vlivu měření na systém, časového vývoje, složených systémů, příklady stavových prostorů

3. Základní pozorovatelné: operátory polohy a hybnosti v omezených a neomezených systémech, princip kores- pondence a operátor energie – Hamiltonián, definiční obory a spektra, neekvivalentní samosdružená rozšíření

4. Kompatibilita měření, operátorové množiny, operátory s jednoduchým spektrem, úplné soubory komutujících

operátorů, význam pro přípravu stavu kvantového systému. Řešené příklady komutujících souborů – poloha,

hybnost, energie (vztah s polohovou, hybnostní, energetickou reprezentací), moment hybnosti, spin

5. Měření nekompatibilních pozorovatelných, relace neurčitosti, kanonické komutační relace polohy a hybnosti,

Heisenbergova relace, Weylovy relace, Stone–von Neumannův teorém

6. Sféricky symetrické systémy, moment hybnosti, kulové funkce, vázané a volné stavy, vektorové a tenzorové

operátory, Wigner–Eckartův teorém, skládání momentu hybnosti, orbitální a spinový moment hybnosti

7. Časový vývoj systému: unitární propagátor, základní dynamický postulát, Stoneův teorém, Schrödingerova

rovnice, význačnost Hamiltoniánu jako generátoru časového vývoje: Ehrenfestova věta, konzervativní systémy,

stacionární stavy, integrály pohybu

8. Nekonzervativní systémy, Schrödingerovo, Heisenbergovo, Diracovo pojetí časového vývoje, Heisenbergova

rovnice, Dysonův rozvoj, Trotterova formule, Feynmanův dráhový integrál

9. Popis složených systémů, provázání, redukované stavy – matice hustoty, soustavy identických částic, druhé

kvantování: Fockův prostor, koncept vakua, kreační a anihilační operátory, kanonické komutační a

antikomutační relace, časový vývoj, interakce částic, základní pojmy a metody teorie rozptylu

10. Možná zobecnění postulátů kvantové mechaniky: superselekční pravidla, smíšené stavy, neseparovatelné

prostory, časově závislé pozorovatelné, pozorovatelné popisované normálními operátory, zobecněná měření,

pozitivně operátorová míra

Osnova cvičení:

Příklady použití konceptů definovaných během přednášek, ukázky jejich využití pro výpočty jednoduchých příkladů, technické části důkazů a zvláštní případy některých tvrzení z přednášek, konkrétní fyzikální systémy: Blochova sféra, jednorozměrný a izotropní harmonický oscilátor, Coulombův potenciál, nabitá částice v elektromagnetickém poli

Cíle studia:

Znalosti:

Postuláty a postupy kvantové mechaniky a pokročilejší kvantové teorie formulované za pomoci matematicky korektního formalismu.

Schopnosti:

Výpočet spekter Hamiltonových operátorů a řešení dalších základních úloh kvantové mechaniky pomocí matematicky rigorózních metod.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] G. Teschl – Mathematical Methods in Quantum Mechanics: With Applications to Schrodinger Operators, American Mathematical Society 2014

[2] J. Blank, P. Exner, M. Havlíček – Hilbert Space Operators in Quantum Physics, Springer 2008

Doporučená literatura:

[3] W. Thirring – Quantum Mathematical Physics: Atoms, Molecules and Large Systems, Springer Verlag 2010

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Aplikovaná algebra a analýza (volitelný předmět)
• Matematická fyzika (povinný předmět programu)