Lineární algebra a diferenciální počet

Vztahy:

Úspěšné absolvování nebo získání zápočtu a nevyčerpání všech zkouškových termínů předmětu F7PBKLAD je podmínkou zápisu na předmět F7PBKITP.

Garant předmětu:

Jana Urzová

Přednášející:

Jiří Neustupa

Cvičící:

Jana Urzová

Předmět zajišťuje:

katedra přírodovědných oborů

Anotace:

Cílem předmětu je seznámení se se základními tématy diferenciálního počtu a se základy lineární algebry, s jejich využitím ve vybraných úlohách technické praxe. Získání početních dovedností při řešení jak cvičných, tak i aplikačních úloh technické praxe. Zlepšení schopnosti samostatně řešit zadané úlohy. Vstupní požadavky studentů na předmětu jsou:

Středoškolská matematika algebraické výrazy, jejich úprava, zlomky, mocniny odmocniny, elementární funkce, goniometrické funkce, základní vzorce a pravidla, základy geometrie v rovině.

Po absolvování předmětu studenti získají následné výstupní znalosti, dovednosti, schopnosti a kompetence: Schopnost orientovat se v probraných tématech, a souvislostech, posílení schopnosti samostatně řešit zadané úlohy a aktivizovat vlastní logického uvažování.

Požadavky:

Udělení zápočtu je podmíněno účastí studenta na cvičeních (maximálně čtyři řádně omluvené absence; v případě vyššího počtu omluvených absencí je zadána náhradní práce) a úspěšným zvládnutím průběžných písemných testů.

Průběžných testů je celkem pět, jsou zařazeny po ukončení tematických celků a ověřují zvládnutí příslušné části učiva. Každý test trvá 60 minut, je hodnocen maximálně 20 body a obsahuje pouze úlohy z dané kapitoly. V případě neúčasti se průběžné testy nedopisují. Za jejich úspěšné zvládnutí se považuje dosažení celkového zisku alespoň 40 bodů ze 100 možných.

V případě nedosažení požadovaného počtu bodů student skládá souhrnný zápočtový test za celý semestr. Test trvá 120 minut, je hodnocen maximálně 100 body a k udělení zápočtu je nutné získat alespoň 40 bodů bez ohledu na výsledky průběžných testů.

Zkouška má písemnou a ústní část. Písemná část trvá 120 minut a obsahuje příklady i teoretické otázky v rozsahu učiva probraného během semestru. Maximální počet bodů v písemné části je 60.

V ústní části student řeší zadaný příklad u tabule, komentuje svůj postup řešení a odpovídá na doplňující otázky. Součástí ústní části může být také objasnění postupů použitých v písemné části zkoušky. Hodnotí se především porozumění problematice a vzájemným souvislostem. Maximální počet bodů je 10.

K úspěšnému složení zkoušky je nutné uspět v obou jejích částech. V písemné části je podmínkou získání alespoň 30 bodů z 60 (50 %). Ústní část je hodnocena klasifikací prospěl/neprospěl bez stanovené bodové hranice.

Výsledná klasifikace je stanovena na základě:

bodů z průběžných testů nebo souhrnného testu (polovina bodů získaných nad minimální hranici; 030 bodů),

bodů z písemné části zkoušky (3060 bodů),

hodnocení ústní části (110 bodů).

Výsledná známka je určena podle standardních pravidel klasifikace ČVUT.

Ke každému písemnému testu i k ústní části zkoušky je povolen seznam vzorců a matematických postupů, který si každý student sestavuje samostatně. Musí být napsán vlastní rukou a může obsahovat libovolné informace; omezen je pouze rozsahem jedné jednostranně popsané strany formátu A4 u průběžných testů a jedné oboustranně popsaného listu formátu A4.

Při písemných testech jsou povoleny (a doporučeny) kalkulačky splňující požadavky certifikace pro didaktický test maturitní zkoušky z matematiky (tj. neprogramovatelné kalkulačky bez funkcí pro řešení rovnic a výpočet integrálů).

Použití jakékoli nepovolené metody získávání informací v kterékoli části zápočtu nebo zkoušky znamená automatické hodnocení stupněm F.

Osnova přednášek:

Osnova přednášek:

1. Číselné množiny, posloupnosti čísel, základní vlastnosti posloupností, limita posloupnosti.

2. Více o množině komplexních čísel, operace s komplexními čísly. Řady reálných i komplexních čísel, součet řady, srovnávací kritérium konvergence. Mocninná řada.

3. Reálná funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy, operace s funkcemi, složená a inverzní funkce, přehled elementárních funkcí.

4. Limita funkce, základní vlastnosti. Nevlastní limity a limity v nevlastních bodech. Spojitost funkce v bodě a na intervalu, vlastnosti spojitých funkcí.

5. Derivace funkce, geometrický a fyzikální význam, základní vlastnosti a vzorečky pro derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu dvou funkcí. Derivace složené a inverzní funkce. Derivace elementárních funkcí.

6. L´Hospitalovo pravidlo. Derivace vyšších řádů. Vyšetření lokálních a globálních extrémů funkce pomocí derivace.

7. Svislé a šikmé asymptoty grafu funkce. Průběh funkce. Diferenciál funkce a jeho aplikace. Taylorův polynom.

8. Taylorův polynom. Taylorova řada. Z konkrétních příkladů: Taylorovy polynomy a Taylorovy řady exponenciální funkce a funkcí sin x a cos x.

9. Vektorový prostor. Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Báze a dimenze vektorového prostoru.

10. Podprostor vektorového prostoru. Lineární obal skupiny vektorů. Matice, typy matic, operace s maticemi. Hodnost matice, určení hodnosti.

11. Čtvercová matice, jednotková matice, inverzní matice, matice regulární a singulární. Determinant čtvercové matice, metody výpočtu. Výpočet inverzní matice pomocí determinantu.

12. Souvislost determinantu s existencí inverzní matice. Metody výpočtu inverzní matice. Soustava lineárních algebraických rovnic, homogenní a nehomogenní soustava.

13. Struktura množiny všech řešení homogenní i nehomogenní soustavy lineárních algebraických rovnic. Gaussova eliminační metoda.

14. Frobeniova věta. Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory čtvercové matice.

Osnova cvičení:

Osnova cvičení:

1. Vstupní test středoškolská matematika (nezapočítává se do hodnocení). Opakování vybraných partií ze středoškolské matematiky řešení algebraických rovnic a nerovnic. Číselné množiny. Operace s výrazy.

2. Posloupnosti. Limity posloupností. Operace s komplexními čísly.

3. Řady reálných a komplexních čísel. Srovnávací kritérium konvergence, součet řady.

TEST 1 číselné množiny, komplexní čísla, posloupnosti a řady

4. Elementární funkce, jejich vlastnosti a průběhy. Složené a inverzní funkce.

5. Limita a spojitost funkce. Výpočty různých typů limit. Asymptoty grafu funkce.

TEST 2 funkce, limita a spojitost funkce, asymptoty

6. Výpočty derivací konkrétních funkcí. Aplikace základních pravidel derivování, derivace elementárních, složených a inverzních funkcí. Výpočty limit pomocí L'Hospitalova pravidla.

7. Derivace vyšších řádů. Vyšetření lokálních a globálních extrémů funkce pomocí derivace. Tečna a normála grafu funkce. Diferenciál funkce a jeho aplikace. Vyšetření průběhu funkce.

8. Taylorův polynom. Taylorova řada. Taylorovy polynomy vybraných funkcí.

TEST 3 diferenciální počet (derivace a jejich aplikace)

9. Vektory a lineární operace s nimi, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů. Báze vektorového prostoru. Dimenze vektorového prostoru.

10. Příklady podprostorů. Lineární obal. Operace s maticemi. Vyšetření hodnosti matice (Gaussův algoritmus)

11. Inverzní matice, Gauss-Jordanova metoda.

TEST 4 vektorové prostory, matice a operace s nimi, inverzní matice

12. Výpočty determinantů čtvercových matic, výpočet inverzní matice pomocí determinantu i pomocí Gaussova algoritmu.

13. Řešení soustavy lineárních algebraických rovnic Gaussovou eliminační metodou.

14. Řešení soustavy lineárních algebraických rovnic Cramerovým pravidlem. Užití Frobeniovy věty.

TEST 5 determinanty, soustavy lineárních algebraických rovnic a jejich řešení

Cíle studia:

Seznámení se se základními tématy diferenciálního počtu a se základy lineární algebry, s jejich využitím ve vybraných úlohách technické praxe. Získání početních dovedností při řešení jak cvičných, tak i aplikačních úloh technické praxe. Zlepšení schopnosti samostatně řešit zadané úlohy.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1]OLŠÁK, P.: Úvod do algebry, zejména lineární. Praha, ČVUT, 2007, ISBN 978-80-01-03775-1

[2]TKADLEC, J.: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. Praha, ČVUT, 2004. ISBN 80-01-03039-3.

Doporučená literatura:

[3]KRAČMAR, S., MRÁZ, F., NEUSTUPA, J.: Sbírka příkladů z Matematiky I. Skriptum Strojní fakulty. Vydavatelství ČVUT, Praha 2017

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2025/2026:

	06:00–08:0008:00–10:0010:00–12:0012:00–14:0014:00–16:0016:00–18:0018:00–20:0020:00–22:0022:00–24:00
Po
Út
St	místnost KL:C-4 Neustupa J. 16:00–17:50 (přednášková par. 1) Kladno FBMI C4, Malý sál
Čt	místnost KL:B-430 Urzová J. 16:00–17:50 (přednášková par. 1 paralelka 1) Kladno FBMI Učebnamístnost KL:B-430 Urzová J. 18:00–19:50 (přednášková par. 1 paralelka 1) Kladno FBMI Učebna
Pá

Rozvrh na letní semestr 2025/2026:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Bakalářská studijní specializace Informační a komunikační technologie (povinný předmět)
• Bakalářský studijní program Informatika a kybernetika ve zdravotnictví - společný první ročník (povinný předmět)
• Bakalářská studijní specializace Biomedicínská informatika (povinný předmět)
• Bakalářská studijní specializace Informační a komunikační technologie (povinný předmět)