Matematické techniky v biologii a medicíně

Garant předmětu:

Václav Klika

Přednášející:

Václav Klika

Cvičící:

Václav Klika

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Prostorově nezávislé modely; enzymová kinetika; vybuditelné systémy (excitable systems); reakčně difuzní rovnice; řešení difuzní rovnice (ve tvaru postupných vln), vznik vzorů, podmínky pro Turingovu nestabilitu (Turing instability), vliv velikosti oblasti; koncept stability v PDR, spektrum lineárního operátoru, semigrupy.

Požadavky:

Kurzy matematické analýzy, lineární algebry, matematických metod ve fyzice. Dále je doporučena i funkcionální analýza. (Dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MAN, 01MAA2-4, 01LAL, 01LAA2, 01RMF, 01FA1, 01FA2.)

Osnova přednášek:

1. Prostorově nezávislé modely: jednodruhové a vícedruhové interagující modely včetně jejich analýzy (diskrétní i spojité).

2. Enzymová kinetika (zákon aktivních hmot) a nerovnovážná termodynamika.

3. Vybuditelné systémy (excitable systems) - model pro nervové pulsy (Fitzhugh-Nagumo); nahlédnutí do teorie bifurkací a dynamických systémů.

4. Vliv prostoru (reakčně difuzní rovnice).

5. Difuzní rovnice - její odvození, řešení, možné modifikace, dosah difuze (penetration depth), dalekodosahová difuze (long-range diffusion).

6. Řešení difuzní rovnice ve tvaru postupných vln (travelling waves).

7. Vznik vzorů (pattern formation) - vznik nestabilit způsobených difuzí, podmínky pro Turingovu nestabilitu (Turing instability), vliv velikosti oblasti.

8. Koncept stability v evolučních úlohách popsaných parciálními diferenciálními rovnicemi, souvislost se spektrem a dotknutí se teorie semigrup.

Osnova cvičení:

Cvičení kopíruje osnovu předmětu, kdy k analýze modelů a případnému zobrazování výsledků či řešení budou používány symbolické matematické programy (Mathematica, Maple).

Cíle studia:

Znalosti:

Získání hlubšího vhledu do nabytých znalostí a pojmů z matematiky z průběhu celého studia a to pomocí jejich užití při sestavování a analýze modelů z biologie.

Schopnosti:

Hlubší vhledu do nabytých znalostí a pojmů z matematiky ze studia; sestavování a analýza biologických a medicínských modelů.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

1. L. Edelstein-Keshet - Mathematical Models in Biology, SIAM, 2005.

2. F. Maršík - Biotermodynamika, Academia, 1998.

3. G. de Vries, T. Hillen, M. Lewis, J. Muller, B. Schonfisch - A Course in Mathematical Biology, SIAM, 2006.

4. J. D. Murray - Mathematical Biology: I. An Introduction, Springer, 2002.

5. J. D. Murray - Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications, Springer, 2014.

6. J. Crank - The mathematics of diffusion. Oxford university press, 1979.

Doporučená literatura:

7. J. Keener, J. Sneyd - Mathematical Physiology, I: Cellular Physiology, Springer, 2009.

8. W. Rudin - Analýza v komplexním a reálném oboru, Academia, Praha 2003.

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Aplikovaná algebra a analýza (volitelný předmět)
• Aplikované matematicko-stochastické metody (volitelný předmět)
• Matematické inženýrství (volitelný předmět)