Matematika

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

institut manažerských studií

Anotace:

Předmět je zaměřen k prohloubení znalostí z vybraných partií lineární algebry, vybraných partií z diferenciálního a integrálního počtu funkcí jedné reálné proměnné.

Požadavky:

Požadavky na zápočet :

Aktivní účast na cvičení

Maximálně dvě absence

Úspěšné absolvování závěrečného testu v semestru

Požadavky ke zkoušce :

1. Vektorový prostor, lineární závislost a nezávislost vektorů, dimenze, báze, podprostor.

2. Matice, operace s maticemi. Hodnost matice. Regulární a singulární matice. Inverzní matice.

Determinant, jeho vlastnosti a výpočet.

3. Soustava lineárních algebraických rovnic. Frobeniova věta. Existence a počet řešení soustavy.

Gaussova eliminační metoda, Cramerovo pravidlo.

4. Posloupnost reálných čísel. Posloupnost omezená, monotónní. Vybraná posloupnost. Limita

posloupnosti. Věty o limitách posloupností, použití při výpočtu limit.

5. Funkce jedné reálné proměnné, definiční obor, obor hodnot, graf. Funkce složená, inverzní, omezená, monotónní.

6. Elementární funkce, vyšetření jejich průběhu: funkce konstantní, lineární, kvadratická, mocninná, exponenciální, logaritmická, goniometrické, cyklometrické.

7. Limita funkce (vlastní i nevlastní). Limita zprava a zleva. Věty o limitách funkcí, použití při výpočtu limit. Spojitost funkce. Věty o spojitosti funkcí, spojitost funkce složené a inverzní. Vlastnosti spojitých funkcí na omezeném uzavřeném intervalu.

8. Derivace funkce. Geometrická a fyzikální interpretace. Rovnice tečny ke grafu funkce. Věty o derivaci funkcí. Vzorce pro derivace elementárních funkcí, jejich odvození. Derivace vyšších řádů. Diferenciál funkce v bodě.

9. L'Hospitalovo pravidlo. Věty o souvislosti znaménka první derivace a průběhu funkce. Lokální a globální extrémy. Vyšetření extrémů funkcí.

10. Konvexní a konkávní funkce. Inflexní bod. Věty o souvislosti znaménka druhé derivace a konvexnosti (konkávnosti) funkce. Asymptoty. Vyšetření průběhu konkrétní funkce.

11. Primitivní funkce, její existence, neurčitý integrál. Základní (tzv. tabulkové) neurčité integrály.

Věta o integraci per-partes. Věta o integraci substitucí. Výpočet neurčitých integrálů.

12. Integrace racionální funkce s polynomem stupně nejvýše 3 ve jmenovateli: rozklad racionální funkce, integrace parciálních zlomků.

13. Integrace goniometrických funkcí

14. Riemannův integrál, výpočet. Newtonova-Leibnizova formule. Metoda per-partes a substituční metoda pro Riemannův integrál. Střední hodnota funkce na intervalu. Aplikace Riemannova integrálu: obsah plochy, objem rotačního tělesa, délka křivky.

Osnova přednášek:

1. Lineární algebra

Aritmetické vektory. Lineární nezávislost vektorů.Vektorový prostor , podprostor, báze. Skalární součin. Úhel dvou vektorů.

Matice. Operace s maticemi. Hodnost matice. Násobení matic. Inverzní matice. Determinant čtvercové matice. Sarussovo pravidlo.

Soustavy lineárních algebraických rovnic. Struktura množiny řešení. Frobeniova věta. Cramerovo pravidlo. Gaussova eliminace.

2. Diferenciální počet

Posloupnost reálných čísel a její limita. Geometrická řada. Funkce jedné reálné proměnné ? základní pojmy a grafy. Limita a spojitost funkce.

Derivace funkce. Výpočet derivací. Rovnice tečny a normály v bodě grafu funkce. Derivace vyšších řádů.

Užití derivací k vyšetření průběhu funkce. Intervaly ryzí monotonie, lokální a absolutní extrémy funkce, konvexnost a konkávnost funkce, inflexní bod, asymptoty grafu funkce.

3. Neurčitý integrál

Primitivní funkce, neurčité integrály elementárních funkcí. Výpočet neurčitého integrálu metodou per partes a pomocí substitucí.

Rozklad racionální funkce na parciální zlomky. Integrace racionálních funkcí.

4. Určitý integrál

Newtonova-Leibnizova formule. Základní vlastnosti určitých integrálů ? existence, linearita, monotonie, aditivita v mezi. Střední hodnota funkce na intervalu. Nevlastní integrály.

Metoda per partes pro určité integrály. Substituce v určitých integrálech. Geometrický význam určitého integrálu a jeho použití pro výpočet obsahů rovinných obrazců.

Osnova cvičení:

navazuje na osnovu přednášek:

1. Lineární algebra

Aritmetické vektory. Lineární nezávislost vektorů.Vektorový prostor , podprostor, báze. Skalární součin. Úhel dvou vektorů.

Matice. Operace s maticemi. Hodnost matice. Násobení matic. Inverzní matice. Determinant čtvercové matice. Sarussovo pravidlo.

Soustavy lineárních algebraických rovnic. Struktura množiny řešení. Frobeniova věta. Cramerovo pravidlo. Gaussova eliminace.

2. Diferenciální počet

Posloupnost reálných čísel a její limita. Geometrická řada. Funkce jedné reálné proměnné ? základní pojmy a grafy. Limita a spojitost funkce.

Derivace funkce. Výpočet derivací. Rovnice tečny a normály v bodě grafu funkce. Derivace vyšších řádů.

Užití derivací k vyšetření průběhu funkce. Intervaly ryzí monotonie, lokální a absolutní extrémy funkce, konvexnost a konkávnost funkce, inflexní bod, asymptoty grafu funkce.

3. Neurčitý integrál

Primitivní funkce, neurčité integrály elementárních funkcí. Výpočet neurčitého integrálu metodou per partes a pomocí substitucí.

Rozklad racionální funkce na parciální zlomky. Integrace racionálních funkcí.

4. Určitý integrál

Newtonova-Leibnizova formule. Základní vlastnosti určitých integrálů ? existence, linearita, monotonie, aditivita v mezi. Střední hodnota funkce na intervalu. Nevlastní integrály.

Metoda per partes pro určité integrály. Substituce v určitých integrálech. Geometrický význam určitého integrálu a jeho použití pro výpočet obsahů rovinných obrazců.

Cíle studia:

Předmět vytváří úvod do matematiky představením vybraných partií z lineární algebry, diferenciálního a integrálního počtu funkcí jedné reálné proměnné.

Studijní materiály:

informace z přednášek

pro procvičení probrané látky lze využít skriptum Fakulty strojní ČVUT v Praze: NEUSTUPA, Jiří. Matematika I. Praha : Nakladatelství ČVUT, 2010 (2008).

Vybrané příklady jsou dostupné také ve studijní opoře na Intranetu nebo na http://marian.fsik.cvut.cz/~mraz/Mat1-Mater2011/M1_2011vybrZeSkript.pdf

Poznámka:

Další informace:

http://stakr.me.cz/M1_MUVS.html

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• B-EK-prez.forma od 15/16 (povinný předmět)
• B-PM-prez.forma od 15/16 (povinný předmět)