Teorie náhodných matic

Garant předmětu:

Jan Vybíral

Přednášející:

Jan Vybíral

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Teorie náhodných matic vznikla v 60. letech 20. století v souvislosti se statistickou fyzikou a teorií jader těžkých kovů. Hlavním zájmem studia je rozdělení vlastních čísel symetrických náhodných matic. V 21. století se pak podařilo aplikovat výsledky z teorie náhodných matic v teoretické informatice a numerice pro design náhodných algoritmů.

Požadavky:

Osnova přednášek:

1. Příklady náhodných matic, třídy GOE a GUE, Wignerova domněnka pro GOE (2), sdružená spektrální hustota pro matice GOE a její odvození, Laymanova klasifikace, Wignerův polokruhový zákon

2. Bernsteinova koncentrační nerovnost, Golden-Thompsonova nerovnost, Liebova věta, aplikace Bernsteinovy nerovnosti: sparsifikace matic, maticové násobení, rekonstrukce matic s nízkou hodností, randomizované rozklady matic

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Posluchači se seznámí s klasickými i moderními výsledky a aplikacemi teorie náhodných matic včetně Wignerova polokruhového zákona, nekomutativních koncentračních nerovností a jejich aplikacemi pro konstrukci randomizovaných algoritmů.

Studijní materiály:

M.L. Mehta: Random Matrices 3rd edition, Academic Press, New York (2004)

G. Livan, M. Novaes, P. Vivo: Introduction to Random Matrices: Theory and Practice, Springer, 2018

J. Tropp: An Introduction to Matrix Concentration Inequalities, Foundations and Trends in Machine Learning, 8(1-2), 2015

M. Krbálek and P. Šeba: Statistical properties of the city transport in Cuernavaca (Mexico) and random matrix ensembles, J. Phys. A: Math. Theor. 33 (2000), L229

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2023/2024:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2023/2024:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Aplikovaná algebra a analýza (povinný předmět programu)
• Aplikované matematicko-stochastické metody (povinný předmět programu)