Bayesovské principy ve statistice

Garant předmětu:

Václav Kůs

Přednášející:

Václav Kůs

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Cílem přednášky je předložit matematické principy teorie rozhodování s náhodnými prvky, principy optimálních a robustních strategií a jejich vzájemné vazby spolu s výpočetními technikami pro jejich reálné použití. Postupy budou ilustrovány na praktických úlohách z prostředí statistických bodových a intervalových odhadů a testování statistických hypotéz.

Požadavky:

Základní kurzy matematické analýzy a pravděpodobnosti - 01MAA3-4 nebo 01MAB3-4, 01MIP nebo 01PRST.

Osnova přednášek:

1. Postačující statistiky, univerzální principy klasické statistiky, princip postačitelnosti, podmíněnosti, věrohodnosti, sekvenční princip a vztahy mezi nimi, bayesovský princip, bayesovský úplný model a výhody jeho použití.

2. Ztrátové a rizikové funkce, užitková funkce a podmínky pro existenci užitkové funkce, obecná rozhodovací funkce. Optimální rozhodnutí a úplné třídy optimálních strategií.

3. Konvexní ztrátové funkce, Rao-Blackwellova věta, principy stejnoměrně nejlepší strategie, nestrannost, konstrukce UMVUE, příklady.

4. Bayesovská optimální rozhodovací strategie, apriorní a aposteriorní bayesovské riziko. Systémy apriorních informací, princip neurčitosti.

5. Jeffreysovy hustoty, konjugované systémy apriorních hustot, limitní aposteriorní hustoty, příklady pro známá rozdělení.

6. Minimaxní strategie, princip přípustnosti řešení rozhodovací úlohy a jejich vztah k bayesovskému řešení, Steinův efekt pro sféricky symetrická rozdělení.

7. Skórové funkce a jejich robustní vlastnosti, Shannonova entropie, f-divergence, princip maximální entropie, nové zobecněné třídy divergencí a jejich metrické a robustní vlastnosti.

8. Bodové odhady s minimální vzdáleností/divergencí, rozhodovací funkce s minimální Kolmogorovskou, Lévyho a diskrepanční vzdáleností, jejich L1 konsistence a kvalitativní robustnost, kolmogorovská entropie, Vapnik-Chervonenkisova dimenze a její použití.

9. Numerické aproximace, přesnost vícedimenzionálních procedur, Monte Carlo přístupy nalezení optimálního rozhodnutí, vzorkování podle důležitosti, konvergence metody, Metropolisův algoritmus.

10. Laplaceova asymptotická expanze do druhého řádu, úlohy v plně exponenciální formě, podmínky regularity pro stochastickou expanzi/aproximaci, výsledky Kass-Tierney-Kadaneho.

11. Hierarchický Bayes, Empirický Bayes, Variační Bayes - základní přístupy a příklady.

12. Bayesovské testování hypotéz pro různé ztrátové funkce, vlastnosti.

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Znalosti:

Rozšíření klasických principů rozhodování s náhodnými prvky a jejich použití v optimalizačních stochastických úlohách s důrazem na Bayesovské metody.

Schopnosti:

Orientace v různých statistických strategiích a jejich vlastnostech. Výpočetní aspekty.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] Berger J.O., Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis, Springer, N.Y., 1985.

[2] Maitra A.P., Sudderth W.D., Discrete Gambling and Sochastic Games, Springer, 1996.

Doporučená literatura:

[3] Fishman G.S., Monte Carlo, Springer, 1996.

[4] Bernardo J.M., Smith A.F.M., Bayesian Theory, Wiley, 1994.

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Aplikované matematicko-stochastické metody (povinně volitelný předmět)