Geometrické aspekty spektrální teorie

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra fyziky

Anotace:

Spektrální teorie nachází uplatnění v mnoha oblastech fyziky a matematiky. Její atraktivnost spočívá mimo jiné v tom, že poskytuje sjednocující aparát pro studium problémů v rozličných odvětvích matematiky, jako například parciální diferenciální rovnice, variační počet, geometrie, stochastická analýza, atd.

Cílem přednášky je seznámit studenty se spektrálními metodami v teorii lineárních diferenciálních operátorů pocházejících jak z klasické, tak moderní fyziky, se speciálním důrazem na geometrií indukované spektrální vlastnosti. Podáme přehled klasických výsledků, jakož I současných trendů v teorii, a naší snahou bude vždy poskytnout fyzikální interpretaci matematických teorémů.

Požadavky:

Rovnice matematické fyziky, funkcionální analýza vítány.

Avšak žádný specifický předchozí kurz není vyžadován.

Osnova přednášek:

1. Motivace. Krize klasické fyziky a nástup kvantové mechaniky. Matematická formulace kvantové teorie. Spektrální problémy v klasické fyzice.

2. Elementy funkcionální analýzy. Diskrétní a esenciální spektra. Sobolevovy prostory. Kvadratické formy. Schrödingerovy operátory.

3. Stabilita esenciálního spektra. Weylův teorém.

4. Role dimenze euklidovského prostoru. Kritikalita versus subkritikalita. Hardyho nerovnost. Stabilita hmoty.

5. Vázané stavy. Variační a poruchové metody.

6. Analytická versus asymptotická poruchová teorie. Birman-Schwingerova analýza. Asymptotické formulky pro slabě vázané vlastní hodnoty.

7. Semiklasická limita. Silně vázané vlastní stavy. Weylovy asymptotiky. Lieb-Thirringovy nerovnosti.

8. Povaha esenciálního spektra. Absolutně a singulárně spojitá spektra, vnořené vlastní hodnoty. Princip limitní absorpce.

9. Komutátorové metody a Mourrova teorie.

10. Geometrické aspekty. Glazmanova klasifikace euklidovských oblastí a jejich základní spektrální vlastnosti.

11. Vibrační systémy. Symetrické přerovnání a Faber-Krahnova nerovnost pro základní frekvenci.

12. Kvantové vlnovody. Elementy diferenciální geometrie: křivky, plochy, variety. Efektivní dynamika.

13. Geometrií indukované vázané stavy a Hardyho nerovnosti v trubicích.

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Znalosti:

Získání znalostí o moderní spektrální teorii.

Schopnosti:

Zvládnout řešení pokročiýché metod spektrální teorie operátorů.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] B. Davies, Spectral theory and differential operators, Cambridge University Press, 1995.

[2] A. Henrot, Extremum problems for eigenvalues of elliptic operators, Frontiers in Mathematics, Birkhäuser, Basel, 2006.

[3] M. Reed and B. Simon, Methods of modern mathematical physics, I?IV, Academic Press, New York, 1972?1978.

Doporučená literatura:

[1] W. O. Amrein, A. Boutet de Monvel and V. Georgescu, C0 -groups, commutator methods and spectral theory of N-body Hamiltonians, Progress in Math. Ser., vol. 135, Birkhäuser, 1996.

[2] D. E. Edmunds and W. D. Evans, Spectral theory and differential operators, Oxford University Press, 1987.

[3] L. C. Evans, Partial Differential Equations, Amer. Math. Soc., 2010.

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů: