Grupy a reprezentace

Garant předmětu:

Goce Chadzitaskos

Přednášející:

Goce Chadzitaskos, Lenka Motlochová

Cvičící:

Goce Chadzitaskos, Lenka Motlochová

Předmět zajišťuje:

katedra fyziky

Anotace:

Přednáška si klade za cíl seznámit posluchače se základními pojmy teorie diskrétních grup a jejich reprezentací. Posluchač se důkladně seznámí se způsoby klasifikace konečných grup, rozkladu grup na přímé a polopřímé součiny a s vlastnostmi reducibilních a ireducibilních reprezentací.

Požadavky:

Žádné

Osnova přednášek:

1. Symetrie ve fyzice a její matematická realizace: přehled základních způsobů využití symetrie ve fyzice a pro ře- šení diferenciálních rovnic.

2. Základní pojmy teorie grup: diskrétní konečné a nekonečné grupy a jejich popis, abelovské a cyklické grupy, generátory grupy, homomorfismus a izomorfismus, podgrupy, řád grupy.

3. Faktorové grupy, prosté grupy, jádro homomorfismu, normální podgrupy, třídy ekvivalence, věty o izomorfismu.

4. Akce grup na množinách: permutační reprezentace, orbita, stabilizátor, normalizátor, centralizátor.

5. Sylowova věta, klasifikace neizomorfních nekomutativních grup daného řádu, klasifikace neizomorfních

abelovských grup.

6. Základní pojmy teorie reprezentací: reducibilní a ireducibilní reprezentace grup, ekvivalentní reprezentace,

unitární reprezentace.

7. Schurova lemmata, kritéria ireducibility

8. Ireducibilní reprezentace konečných grup, ortogonalita, geometrická interpretace, báze reprezentačního

prostoru.

9. Charaktery reprezentací a jejich tabulky, ortogonalita, Frobeniovo kritérium, dimenze ireducibilních

reprezentací.

10. Regulární reprezentace, klasifikace ireducibilních reprezentací.

Osnova cvičení:

Pologrupy, grupy, vlastnosti group, použití Sylowovy věty, klasifikace grup daného řádu, reprezentace grup, neekvivalentní ireducibilní reprezentace symetrické grupy, Youngovy diagramy.

Cíle studia:

Znalosti:

Metody klasifikace diskrétních grup a jejich reprezentace.

Schopnosti:

Určovat irreducibilní reprezentace a klasifikovat grupy vybraných řádů

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] C.W. Curtis and I. Reiner: Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, AMS Chelsea Pu- blishing, 2006.

[2] A. P. Isaev, V. A. Rubakov: Theory of Groups and Symmetries: Finite Groups, Lie Groups, and Lie Algebras, World Scientific 2018.

Doporučená literatura:

[3] D.S. Dummit, R.M. Foote: Abstract Algebra, John Wiley and Sons, 2004.

[4] H.F. Jones: Groups, Representations and Physics, 2nd Ed., IOP, Bristol 1998.

[5] I.M. Isaacs: Character Theory of Finite Groups, Dover, NY 1976.

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Matematická fyzika (povinný předmět programu)