Lieovy algebry a grupy

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra fyziky

Anotace:

Definice a základní vlastnosti Lieových grup a algeber. Různé typy Lieových algeber, systémy kořenů a klasifikace prostých komplexních Lieových algeber. Úvod do teorie jejich reprezentací.

Požadavky:

Základní znalosti z 02GMF1 nebo 02DRG, tj. varieta, vektorová pole, integrální křivky apod.

Osnova přednášek:

1. Lieova grupa, Lieova algebra a jejich vztah.

2. Exponenciální zobrazení.

3. Podgrupy a podalgebry, homogenní prostory.

4. Univerzální nakrytí.

5. Lieovy algebry - základní pojmy.

6. Killingova forma.

7. Věta Lieova a Engelova.

8. Cartanova kriteria.

9. Cartanova podalgebra.

10. Systémy kořenů.

11. Klasifikace prostých komplexních Lieových algeber.

12. Reprezentace prostých Lieových algeber.

Osnova cvičení:

1. Grupy GL(n), SL(n), O(n), SO(n), U(n), SU(n), Sp(2n), Af(1).

2. Algebry gl(n), sl(n), o(n), so(n), u(n), su(n), sp(2n), af(1).

3. Souvislost a maximální tory SU(n), SO(n).

4. Exponenciela sl(2) do SL(2).

5. Klasifikace Lieových algeber do dimenze 3.

6. Killingova forma Lieových algeber do dimenze 3.

7. Systémy kořenů algeber A_l,B_l,C_l,D_l.

8. Tensorový součin representací.

9. Reprezentace SU(3) a jejich význam v částicové fyzice.

Cíle studia:

Znalosti:

Základní pojmy a poznatky z teorie Lieových grup a algeber.

Schopnosti:

Aktivní použití základních pojmů teorie Lieových grup v teoretické fyzice

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] D.H. Sattinger, O.L. Weaver: Lie Groups and Algebras, Springer Verlag 1986.

[2] A. P. Isaev, V. A. Rubakov: Theory Of Groups And Symmetries: Finite Groups, Lie Groups, And Lie Algebras, World Scientific 2018.

Doporučená literatura:

[3] H. Samelson: Notes on Lie algebras, Springer Verlag 1990.

[4] R. Gilmore: Lie groups, Physics and Geometry, CUP 2008.

[5] K. Erdmann, M.J. Wildon: Introduction to Lie Algebras, Springer Verlag 2006.

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Matematické inženýrství (volitelný předmět)