Základy teorie operátorových algeber

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Základní kurz teorie operátorových algeber, který je zaměřen především na teorii C* algeber a von Neumannových algeber v jejich realizaci na Hilbertově prostoru. Je studován stavový prostor operátorových algeber, GNS konstrukce a reprezentace.Je vyložena komparační teorie projekcí, stavů a reprezentací von Neumannových algeber.Von Neumannovy algebry jsou klasifikovány na konečné a nekonečné a na strukturální typy I, II, III.

Požadavky:

Osnova přednášek:

1. Direktní součty a tenzorové součiny Hilbertových prostorů. Omezené a neomezené operátory na Hilbertových prostorech.

2. Banachovy algebry. Gelfandův vzorec pro spektrální poloměr. Holomorfní funkční kalkulus.

3. C* algebry, pozitivita, stavy a reprezentace. GNS konstrukce. Čisté stavy a ireducibilní reprezentace.

4. Slabé a silné operátorové topologie. Von Neumannovy algebry.

5.Věta o dvojitém komutantu, Kaplanského věta, Kadisonova věta o tranzitivitě.

6. Abelovské operátorové algebry a jejich charakterizace.

7. Svazy projekcí, spektrální míra a spektrální věta. Neomezené operátory připojené k von Neumannově algebře.

8. Komparační teorie projekcí na von Neumannových algebrách.

9. Rozklad von Neumannových algeber na konečnou a nekonečnou část. Strukturální typy I, II, III.

10. Normální stavy na von Neumannových algebrách. Preduál. Normální váhy.

11. Stopa a dimenzní funkce na von Neumannově algebře. Dixmierova věta.

12. Univerzální reprezentace $C^\ast$-algebry a obalující von Neumannova algebra.

13. Ekvivalence stavů a reprezentací na operátorových algebrách.

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Studijní materiály:

1. R.V.Kadison and J.R.Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I, II, Academic Press (1986).

2. M.Takesaki: Theory of Operator Algebras I, Berlin, Heidelberg, New York, Springer (2002).

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Doktorské studium, prezenční forma (povinně volitelný předmět)
• Doktorské studium, kombinovaná forma (povinně volitelný předmět)