Matematické modelování nelineárních systémů

Garant předmětu:

Michal Beneš

Přednášející:

Michal Beneš

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Předmět zahrnuje základní pojmy a poznatky teorie dynamických systémů konečné a nekonečné dimenze generovaných evolučními diferenciálními rovnicemi, charakteristiku bifurkací a chaosu. Druhá část je věnována výkladu základních pojmů fraktální geometrie zkoumající atraktory těchto dynamických systémů.

Požadavky:

Základní kurzy matematické analýzy, lineární algebry a obyčejných diferenciálních rovnic, funkcionální analýza, variační metody (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, 01LA1, 01LAA2, DIFR, nebo 01MA1, 01MAB2-4, 01LA1, 01LAB2, FA1, VAME).

Osnova přednášek:

I.Úvodní poznámky

II.Dynamické systémy a chaos

1.Základní pojmy a tvrzení

2.Konečněrozměrné dynamické systémy a geometrická teorie obyčejných diferenciálních rovnic

3.Nekonečněrozměrné dynamické systémy a geometrická teorie parciálních diferenciálních rovnic

4.Bifurkace a chaos; prostředky k jejich vyšetřování

III.Matematické základy fraktální geometrie

1.Motivační příklady a vztah k dynamickým systémům

2.Topologická dimenze

3.Obecná teorie míry

4.Hausdorffova dimenze

5.Pokusy o definici geometricky složité množiny

6.Iterační systémy funkcí

IV.Závěr - použití pro matematické modelování

Osnova cvičení:

Cvičení je součástí výkladu a obsahuje řešení konkrétních příkladů z geometrické teorie diferenciálních rovnic, metody linearizace, Ljapunovovy funkce, bifurkací a fraktálních množin.

Cíle studia:

Znalosti:

Deterministické dynamické systémy, popis chaotického stavu, geometrická teorie obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic, teoretické základy fraktální geometrie.

Schopnosti:

Použití metody linearizace a metody Ljapunovovy funkce ke stanovení stability pevného bodu, bifurkační analýza, stanovení stability periodické trajektorie, charakteristika fraktálních množin a měření jejich dimenze.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] F.Verhulst, Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin 1990

[2] M.Holodniok, A.Klíč, M.Kubíček, M.Marek, Metody analýzy nelineárních dynamických modelů, Academia, Praha 1986

[3] G.Edgar, Measure, Topology and Fractal Geometry, Springer Verlag, Berlin 1989

[4] K. Falconer, Fractal Geometry - Mathematical Foundations and Applications, J. Wiley and Sons, Chichester, 2014

Doporučená literatura:

[5] D.Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Springer Verlag, Berlin 1981

[6] R.Temam, Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer Verlag, Berlin 1988

[7] G.C. Layek, An Introduction to Dynamical Systems and Chaos, Springer Verlag, Berlin 2015

Studijní pomůcky:

Webová prezentace předmětu s vybranými motivačními příklady.

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Matematické inženýrství (povinný předmět oboru)
• Fyzika a technika termojaderné fúze (povinný předmět oboru)
• Aplikované matematicko-stochastické metody (volitelný předmět)
• Fyzika plazmatu a termojaderné fúze (volitelný předmět)
• Matematická fyzika (volitelný předmět)
• Matematické inženýrství (povinný předmět programu)
• Matematická informatika (volitelný předmět)
• Fyzikální elektronika - Počítačová fyzika (volitelný předmět)