Základy diskrétní matematiky

Přednášející:

Karel Klouda

Cvičící:

Karel Klouda

Předmět zajišťuje:

katedra aplikované matematiky

Anotace:

Studenti získají jak solidní matematický základ, tak současně i praktickou početní zběhlost v oblasti kombinatoriky, odhadu hodnot a aproximace funkcí, postupů pro řešení rekurentních rovnic a základů teorie grafů.

Požadavky:

Předpokládá se zvládnutí základních pojmů matematiky a matematické logiky v rozsahu daném obsahem předmětů BIK-ZMA, BIK-MLO a BIK-LIN.

Osnova přednášek:

1. Množiny a jejich mohutnost, spočetné množiny, potenční množina konečné množiny a její mohutnost. Potenční množina množiny přirozených čísel - nespočetná množina.

2. Základy kombinatoriky. Princip inkluze a exkluze - využití pro výpočet mohutností. „Pigeon-hole principle“, počet struktur, tj. počet zobrazení, relací, stromů (vše na konečných strukturách).

3. Odhady funkcí (např. faktoriálu, binomických koeficientů). Relace a relace ekvivalence (např. ekvivalence souvislé/silně souvislé komponenty).

4. Matice relací, relační databáze. Matematická indukce jako nástroj pro zjištění počtu konečných objektů.

5. Matematická indukce jako nástroj pro důkaz správnosti algoritmů. Matematická indukce jako nástroj pro řešení úloh rekurzí.

6. Strukturální indukce. Výpočet časové náročností rekursivních algoritmů - řešení rekurentních rovnic s konstantními koeficienty - homogenní rovnice.

7. Řešení nehomogenních rekurentních rovnic s konstantními koeficienty.

Osnova cvičení:

1. Výpočty mohutností množin. Spočetnost a nespočetnost. Princip inkluze a exkluze. Počty struktur na konečných množinách. Asymptotické chování funkcí.

2. Relace a orientované grafy. Základní důkazy indukcí. Aplikace důkazů indukcí v kombinatorice. Aplikace důkazů indukcí v programování. Indukce a rekursivní algoritmy.

3. Využití indukce v teorii formálních jazyků. Výpočty časové složitosti. Řešení lineárních rekurentních rovnic. Rezerva.

Cíle studia:

Cílem předmětu je naučit studenty postupům kombinatoriky, asymptotické matematiky a matematické indukce jako základního nástroje pro dokazování správnosti či odvozování složitosti algoritmů.

Studijní materiály:

Nešetřil, J., Matoušek, J. „Kapitoly z diskrétní matematiky“. Praha: Karolinum, 2007. ISBN 978-80-246-1411-3.

Johnsonbaugh, R. „Discrete Mathematics (4th Edition)“. Prentice Hall, 1998. ISBN 0130805505.

Rosen, K. H. „Discrete Mathematics and its Applications“. McGraw-Hill, 1998. ISBN 0072899050.

Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L. „Introduction to Algorithms“. The MIT Press, 2001. ISBN 0262032937.

Poznámka:

Rozsah=konzultace+seminae, Prednasejici: doc. RNDr. Josef Kolář CSc.

Rozvrh na zimní semestr 2011/2012:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2011/2012:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Informační systémy a management, komb. forma (povinný předmět programu)
• Informační technologie, kombinovaná forma studia (povinný předmět programu)
• Počítačové inženýrství, kombinovaná forma studia (povinný předmět programu)
• Softwarové inženýrství, kombinovaná forma studia (povinný předmět programu)
• Teoretická informatika, kombinovaná forma studia (povinný předmět programu)
• Web a multimedia, kombinovaná forma studia (povinný předmět programu)
• Plán pro období před přiřazením k oboru (povinný předmět programu)