Lineární algebra

Vztahy:

Předmět BIK-LIN může při kontrole studijních plánů nahradit předmět BIK-LA1.21

Předmět je ekvivalentní s BIE-LIN,BI-LIN .

Garant předmětu:

Karel Klouda

Přednášející:

Karel Klouda

Cvičící:

Karel Klouda

Předmět zajišťuje:

katedra aplikované matematiky

Anotace:

Studenti budou znát teoretické základy algebry a matematické principy lineárních modelů systémů, kde jsou lineární závislosti mezi komponentami. Budou umět základní metody práce s polynomy a lineárními prostory. Budou umět provádět algebraické operace s maticemi a řešit soustavy lineárních rovnic. Budou umět použít tyto matematické postupy při řešení úloh analytické geometrie 2D a 3D prostoru. Na základě těchto matematických základů budou rozumět bezpečnostním kódům.

Požadavky:

Znalost středoškolské matematiky.

Osnova přednášek:

1. Úvod: Definice, věta, důkaz. Typy důkazů.

2. Operace s množinami: průnik, sjednocení, rozdíl, kartézský součin. Zobrazení, skládaní zobrazení, inverzní zobrazení, bijekce, permutace.

3. Polynomy, kořeny polynomů, ireducibilní polynomy. Polynomy v R, C, Q. Největší společný dělitel a Euklidův algoritmus. Binární operace a její vlastnosti. Grupa, okruh, těleso. Homomorfizmy (Isomorfizmy). Charakteristika tělesa. Konečná tělesa.

4. Soustavy lineárních rovnic, Gaussova eliminační metoda.

5. Lineární prostory, lineární závislost a nezávislost.

6. Báze, dimenze, souřadnice vektorů v bázi. Transformace souřadnic.

7. Matice, operace s maticemi.

8. Determinanty a jejich výpočet.

9. Inverzní matice a jejich výpočet.

10. Lineární zobrazení, matice lineárního zobrazení. Rotace, projekce na přímku (rovinu), symetrie vzhledem k přímce (rovině) v $R^2$ a $R^3$.

11. Vlastní čísla a vlastní vektory matice resp. lineárního zobrazení.

12. Invariantní podprostory. Jordanův tvar.

13. Bilineární a kvadratické formy. Skalární součin, ortogonalita. Ortogonální doplněk. Euklidovské a unitarní prostory. Lineární zobrazení Eukl., unit. prostorů. Afinní prostor. Afinní transformace. Translace.

14. Samoopravné kódy.

Osnova cvičení:

1. Operace s polynomy Kořeny polynomů. Euklidův algoritmus. Největší společný dělitel. Soustavy lineárních rovnic, Gaussova eliminační metoda. Lineární závislost a nezávislost. Báze, dimenze, souřadnice vektorů v bázi. Transformace souřadnic. Matice, operace s maticemi. Determinanty a jejich výpočet.

2. Inverzní matice a jejich výpočet. Lineární zobrazení, matice lineárního zobrazení. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Jordanův tvar. Bilineární a kvadratické formy. Skalární součin, ortogonalita. Afinní transformace. Translace. Samoopravné kódy.

Cíle studia:

Cílem předmětu je vybudovat základy matematického způsobu myšlení a vybavit studenty znalostmi základů lineární algebry na úrovni nezbytné pro řešení soustav lineárních rovnic nabo řešení úlof 2D a 3D analytické geometrie.

Studijní materiály:

Olšák, P. ''Úvod do algebry, zejména lineární''. FEL ČVUT, Praha, 2007.

Demlová, M., Pondělíček, B. ''Úvod do algebry''. ČVUT, Praha 2000.

Pták, P. ''Introduction to Linear Algebra''. ČVUT, Praha, 2005.

Poznámka:

Informace o předmětu a výukové materiály naleznete na https://courses.fit.cvut.cz/BI-LIN/

Další informace:

https://courses.fit.cvut.cz/BI-LIN/

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Bc. program Informatika, pro fázi studia bez oboru, kombi., 2015 - 2020 (povinný předmět programu)
• Bc. obor Bezpečnost a informační technologie, kombi., 2015 - 2019 (povinný předmět programu)
• Bc. obor Webové a softwarové inženýrství, zaměření Softwarové inženýrství, kombi., 2015 - 2020 (povinný předmět programu)
• Bc. obor Bezpečnost a informační technologie, kombinovaná forma studia, 2020 (povinný předmět programu)