Aplikovaná matematika

Garant předmětu:

David Vrba

Přednášející:

David Vrba

Cvičící:

David Vrba

Předmět zajišťuje:

katedra biomedicínské techniky

Anotace:

Výuka předmětu Aplikovaná matematika kombinuje jak teoretické znalosti, tak i praktické dovednosti. Teoretické znalosti jsou nezbytné k formulaci matematického modelu a následně k řešení rozhodovacích a optimalizačních úloh v ekonomických procesech. Praktické znalosti se trénují při řešení konkrétních situací na vzorových příkladech, kde jsou studenti seznámeni s konkrétními metodami a technikami matematické analýzy dat.

Požadavky:

1. Aktivní účast na seminářích (povoleny jsou maximálně 2 absence)

2. Min. 50% úspěšnost zápočtového testu (max. 20 bodů)

Podmínky zkoušky: Zkouška se sestává ze dvou částí: písemné a ústní.

Písemná část obsahuje 4 příklady (max. 60 bodů).

V ústní části zkoušky (max. 20 bodů) student obhajuje známku z písemné části. Musí prokázat, že rozumí probrané látce a logickým souvislostem.

Hodnocení dle stupnice ECTS za součet všech bodů (max. 100 bodů)

Osnova přednášek:

•Čísla a funkce: přirozená, celá, reálná čísla, intervaly, číselné soustavy, funkce, polynom, funkce dvou a více proměnných, složené a inverzní funkce. Vyvážení produkčního procesu, vykreslení cenového grafu funkce, zápis lineární cenové funkce.

•Posloupnosti (aritmetická, geometrická), řady, limity posloupnosti, konvergence, divergence, vlastní/nevlastní limita, limita v nevlastním bodě. Úroky, zhodnocení investic.

•Limita, spojitost a derivace: Derivace jako rychlost změny, jako směrnice tečny ke křivce, pojem limity, počítání s limitami, nekonečna, nevlastní limity, spojitost funkcí.

•Derivace konstanty, lineární a mocninné funkce, pravidla pro výpočet derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí, derivace složené funkce, parciální derivace. Mezní cena, maximalizace výdělku, minimalizace ceny naskladnění

•Průběh funkce jedné proměnné: definiční obor, lokální a absolutní extrémy, monotónní funkce. Vykreslení a analýza ceny stavby.

•Průběh funkce jedné proměnné: sudost, lichost, konvexnost, konkávnost a inflexní body

•Základy integrálního počtu I: metody výpočtu integrálu, vlastnosti integrálu, neurčitý integrál, odhad populace zalidněné oblasti.

•Základy integrálního počtu II: určitý integrál, nevlastní integrál; integrál jako zobecněný součet, integrál jako plocha pod grafem, porovnání budoucích příjmů, nalezení celkové ceny z mezní ceny, výpočet investičního rozdílu, porovnání Lorentzových křivek.

•Matematické řešení optimalizačního problému I - lokální extrémy funkcí jedné proměnné, řešení pomocí derivací. Lokální extrémy funkcí dvou proměnných. Maximalizace profitu, optimální umístění zásob.

•Matematické řešení optimalizačního problému II - funkce tří a více proměnných. Hledání vázaného extrému, Lagrangeův multiplikátor. Lagrangeův multiplikátor pro optimalizaci konstrukce, maximalizace užitku, optimální rozmístění zdrojů, minimalizace ceny stavby.

•Metody nejmenších čtverců a regresní analýza: Výpočet ceny pojištění.

•Počítání s maticemi: matice a vektory, operace s maticemi, komutativní, asociativní a distributivní zákon, jednotková a nulová matice, transponovaná a inverzní matice. Gaussova eliminace, determinant a metody jeho výpočtu.

•Úvod do teorie her a modely rozhodovacích her. Vybrané teorie her – Definice hry, vězňovo dilema, oligopoly, Nashova rovnováha, krájení dortu (hra).

•Úvod do diferenciálních rovnic: definice DR, typy DR, intuice, jednoduché rovnice a modely, směrové pole, obecné řešení, řešení s počáteční podmínkou, nalezení výnosu z diferenciální rovnice

Osnova cvičení:

•Čísla a funkce: přirozená, celá, reálná čísla, intervaly, číselné soustavy, funkce, polynom, funkce dvou a více proměnných, složené a inverzní funkce, goniometrické funkce

•Posloupnosti (aritmetická, geometrická), řady, limity posloupnosti, konvergence, divergence, vlastní/nevlastní limita, limita v nevlastním bodě

•Limita, spojitost a derivace: Derivace jako rychlost změny, jako směrnice tečny ke křivce, pojem limity, počítání s limitami, nekonečna, nevlastní limity, spojitost funkcí

•Derivace konstanty, lineární a mocninné funkce, pravidla pro výpočet derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí, derivace složené funkce, parciální derivace

•Průběh funkce jedné proměnné: definiční obor, lokální a absolutní extrémy, monotónní funkce

•Průběh funkce jedné proměnné: sudost, lichost, konvexnost, konkávnost a inflexní body

•Základy integrálního počtu I: metody výpočtu integrálu, vlastnosti integrálu, neurčitý integrál

•Základy integrálního počtu II: určitý integrál, nevlastní integrál; integrál jako zobecněný součet, integrál jako plocha pod grafem

•Matematické řešení optimalizačního problému I - lokální extrémy funkcí jedné proměnné, řešení pomocí derivací. Lokální extrémy funkcí dvou proměnných

•Matematické řešení optimalizačního problému II - funkce tří a více proměnných. Hledání vázaného extrému, Lagrangeův multiplikátor

•Metody nejmenších čtverců a regresní analýza

•Počítání s maticemi: matice a vektory, operace s maticemi, komutativní, asociativní a distributivní zákon, jednotková a nulová matice, transponovaná a inverzní matice. Gaussova eliminace, determinant a metody jeho výpočtu

•Úvod do teorie her a modely rozhodovacích her. Vybrané teorie her – Definice hry, vězňovo dilema, oligopoly, Nashova rovnováha, krájení dortu (hra)

•Úvod do diferenciálních rovnic: definice DR, typy DR, intuice, jednoduché rovnice a modely, směrové pole, obecné řešení, řešení s počáteční podmínkou

Cíle studia:

Studijní materiály:

Povinná literatura

[1]TKADLEC, Josef. Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. Praha: Vydavatelství ČVUT, 2004. ISBN 80-01-03039-3.

[2]OLŠÁK, P. Lineární algebra [online], učební text FEL ČVUT, 2007. Dostupné z: http://petr.olsak.net/linal.html

[3]The Princeton companion to mathematics. Editor Timothy GOWERS, editor June BARROW - GREEN, editor Imre LEADER. Princeton: Princeton University Press, 2008. ISBN 0691118809.

Doporučená literatura

[4]BINMORE, K. G. Teorie her: --a jak může změnit váš život. Praha: Dokořán, 2014. Aliter (Argo: Dokořán): Dokořán). ISBN 978-80-7363-549-7.

[5]Eichhorn, W., Gleißner, W. Mathematics and methodology for economics: applications, problems and solutions. New York, NY: Springer Berlin Heidelberg, 2016. ISBN 9783319233529.

[6]Hoffmann L., Bradley G., Sobecki D. and Price M., Calculus For Business, Economics, and the Social and Life Sciences 11th Edition, McGraw-Hill 2013, ISBN 978-0073532387.

Studijní pomůcky

Opory určené pro kombinovanou formu studia a prezentace zveřejněné na webových stránkách předmětu.

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Navazující magisterský studijní program Systémová integrace procesů ve zdravotnictví (povinný předmět)