Metoda konečných objemů I.

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

ústav technické matematiky

Anotace:

Předmět seznamuje studenty se základy metody konečných objemů pro řešení parciálních diferenciálních rovnic (PDR) se zaměřením na rovnice používané v mechanice tekutin.

•Zákony zachování v mechanice tekutin a jejich popis pomocí PDR. Lineární rovnice konvekce, počáteční a smíšená úloha pro lineární rovnici konvekce a jejich analytické řešení.

•Nelineární Burgersova rovnice, vznik nespojitostí, klasické a slabé řešení.

•Metoda konečných objemů (MKO) pro jednorozměrné úlohy, základní schémata nízkého řádu přesnosti, stabilita, konzistence a konvergence numerického řešení pro lineární problémy.

•Schémata vyššího řádu přesnosti, princip umělé vazkosti

•Stabilita a konvergence pro nelineární problémy, monotónní schéma, TVD schéma, rekonstrukce s limiterem.

•Lineární hyperbolický systém, charakteristické proměnné, formulace smíšené úlohy pro hyperbolický lineární systém, základní numerická schémata pro lineární hyperbolický systém.

•Nelineární hyperbolický systém, Riemannův problém, Godunovova metoda, numerický tok založený na řešení Riemannova problému.

•Rovnice mělké vody, odvození numerického toku HLL, aplikace MKO na řešení problémů popsaných rovnicemi mělké vody.

•Eulerovy rovnice, odvození numerických toků (Roe, HLL, AUSM)

•Aproximace zdrojových a difuzních členů pro případ vazké tekutiny.

•Odvození implicitní metody pro vazké stlačitelné proudění.

•Formulace a ukázky řešení vybraných úloh.

•Formulace a ukázky řešení vybraných úloh

Požadavky:

Osnova přednášek:

1) Jednorozměrný zákon zachování

1.1) Rovnice kontinuity v 1D

1.2) Lineární advekce

1.2.1) Charakteristiky, analytické řešení počáteční úlohy

1.2.2) Formulace smíšené úlohy, okrajové podmínky

1.3) Nelineární skalární hyperbolická rovnice (Burgersova rovnice)

1.3.1) Vznik nespojitosti a neexistence globálního klasického řešení

1.3.2) Definice slabého řešení a jeho nejednoznačnost

1.3.3) Koncept entropického řešení

1.3.4) Rankine-Hugoniotova podmínka (rychlost pohybu nespojitosti)

1.4) Další příklady nelineárních rovnic

1.5) Lineární hyperbolický systém rovnic prvního řádu

1.5.1) Diagonalizace matice A, charakteristické proměnné

1.5.2) Analytické řěšení počáteční úlohy

1.5.3) Formulace smíšené úlohy, okrajové podmínky

2) Numerické řešení jednorozměrných skalárních zákonů zachování

2.1) Metoda konečných objemů pro 1D problém

2.2) Chyba aproximace, konzistence, stabilita, globální chyba

2.3) Laxova věta o ekvivalenci

2.4) Spektrální kriterium stability

2.5) Monotónní schéma a princip maxima pro skalární problém

2.6) Princip umělé vazkosti

2.7) TVD schéma pro skalární problém

2.8) Příklady schémat: Centrální schéma, Laxovo-Wendroffovo schéma, Schéma upwind, Laxovo-Friedrichsovo (Rusanovovo) schéma, Laxovo-Wendroffovo schéma s umělou vazkostí, TVD schéma

3) Numerické řešení hyperbolických systémů v 1D

3.1) Schéma upwind

3.2) Laxovo-Freidrichsovo schéma

3.3) Laxovo-Wendroffovo (MacCormackovo) schéma

3.4) AUSM schéma pro Eulerovy rovnice

3.5) Příklady: Řešení Riemannova problému pro systém Eulerových rovnic (rázová trubice), Řešení rovnic proudění mělké vody (protržení hráze)

4) Princip metody konečných objemů pro vícerozměrné problémy

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Studijní materiály:

J. Fürst, K. Kozel: Numerické metody řešení problémů proudění I, skripta ČVUT, 2001

J. Fořt, K. Kozel: Numerické metody řešení problémů proudění II, skripta ČVUT, 2002

J. Fořt, K. Kozel, P. Louda, J. Fürst: Numerické metody řešení problémů proudění III, skripta ČVUT, 2004

J.H. Ferziger, M. Peric: Computational Methods for Fluid Dynamics, Springer 2002

J. Blazek: Computational Fluid Dynamics: Principles and Applications, Elsevier, 2001

E.F.Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A Practical Introduction, Springer 2009

R. J. LeVeque: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, New York, 2007

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů: