Coxeterovy grupy

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra fyziky

Anotace:

Předmět slouží jako úvod do teorie Coxeterových grup a teorie jejich invariantů. Jsou rozebrány případy konečných Coxeterových grup - grupy zrcadlení a jejich vlastnosti. Jsou zavedeny pojmy Weylova komora a funkce délky. Obecná teorie Coxeterových grup, příslušných bilineárních forem a teorie jejich klasifikace představují abstraktní zobecnění grup zrcadlení. Studium afinních Weylových grup a souvisejících pojmů představuje základní příklad nekonečných Coxeterových grup. Jako úvod do teorie invariantů jsou demonstrovány MacDonaldova a Weylova identita.

Požadavky:

Znalosti na úrovni kurzu lineární algebry a geometrie, základy teorie grup.

Osnova přednášek:

1. Zrcadlení a grupy zrcadlení

2. Kořenové systémy, krystalografické kořenové systémy

3. Weylovy komory a fundamentální systémy

4. Funkce délky a nadroviny zrcadlení

5. Parabolické podgrupy a stabilizéry

6. Coxeterovy grupy and Coxeterovy systémy

7. Bilineární formy Coxeterových systémů

8. Klasifikace Coxeterových systémů a grup zrcadlení

9. Weylovy grupy, kořenové mříže, fundamentální váhy a váhová mříž

10. Klasifikace krystalografických kořenových systémů

11. Afinní Weylovy grupy, afinní kořenové systémy, fundamentální domény

12. Borel-de Siebenthalův teorém

13. MacDonaldova identita, Weylova identita

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Znalosti:

Základy teorie Coxeterových grup a jejich invariantů.

Schopnosti:

Schopnost orientace v současné související matematické problematice a literatuře, schopnost pochopit a vyhodnotit abstraktní materiál, analytický přístup k problémům

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] R.Kane, Reflection Groups and Invariant Theory , CMS books in Mathematics, Springer, 2001

Doporučená literatura:

[2] J. E. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge Advanced Studies in Mathematics, no. 29, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.

[3] C. T. Benson, L. C. Grove, Finite Reflection Groups , Second Edition, Springer, 2010;

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Aplikovaná algebra a analýza (volitelný předmět)
• Matematická fyzika (volitelný předmět)