Geometrické aspekty spektrální teorie
Kód | Zakončení | Kredity | Rozsah |
---|---|---|---|
02SPEC | ZK | 2 | 2+0 |
- Garant předmětu:
- Přednášející:
- Cvičící:
- Předmět zajišťuje:
- katedra fyziky
- Anotace:
-
Spektrální teorie nachází uplatnění v mnoha oblastech fyziky a matematiky. Její atraktivnost spočívá mimo jiné v tom, že poskytuje sjednocující aparát pro studium problémů v rozličných odvětvích matematiky, jako například parciální diferenciální rovnice, variační počet, geometrie, stochastická analýza, atd.
Cílem přednášky je seznámit studenty se spektrálními metodami v teorii lineárních diferenciálních operátorů pocházejících jak z klasické, tak moderní fyziky, se speciálním důrazem na geometrií indukované spektrální vlastnosti. Podáme přehled klasických výsledků, jakož I současných trendů v teorii, a naší snahou bude vždy poskytnout fyzikální interpretaci matematických teorémů.
- Požadavky:
-
Rovnice matematické fyziky, funkcionální analýza vítány.
Avšak žádný specifický předchozí kurz není vyžadován.
- Osnova přednášek:
-
1. Motivace. Krize klasické fyziky a nástup kvantové mechaniky. Matematická formulace kvantové teorie. Spektrální problémy v klasické fyzice.
2. Elementy funkcionální analýzy. Diskrétní a esenciální spektra. Sobolevovy prostory. Kvadratické formy. Schrödingerovy operátory.
3. Stabilita esenciálního spektra. Weylův teorém.
4. Role dimenze euklidovského prostoru. Kritikalita versus subkritikalita. Hardyho nerovnost. Stabilita hmoty.
5. Vázané stavy. Variační a poruchové metody.
6. Analytická versus asymptotická poruchová teorie. Birman-Schwingerova analýza. Asymptotické formulky pro slabě vázané vlastní hodnoty.
7. Semiklasická limita. Silně vázané vlastní stavy. Weylovy asymptotiky. Lieb-Thirringovy nerovnosti.
8. Povaha esenciálního spektra. Absolutně a singulárně spojitá spektra, vnořené vlastní hodnoty. Princip limitní absorpce.
9. Komutátorové metody a Mourrova teorie.
10. Geometrické aspekty. Glazmanova klasifikace euklidovských oblastí a jejich základní spektrální vlastnosti.
11. Vibrační systémy. Symetrické přerovnání a Faber-Krahnova nerovnost pro základní frekvenci.
12. Kvantové vlnovody. Elementy diferenciální geometrie: křivky, plochy, variety. Efektivní dynamika.
13. Geometrií indukované vázané stavy a Hardyho nerovnosti v trubicích.
- Osnova cvičení:
- Cíle studia:
-
Znalosti:
Získání znalostí o moderní spektrální teorii.
Schopnosti:
Zvládnout řešení pokročiýché metod spektrální teorie operátorů.
- Studijní materiály:
-
Povinná literatura:
[1] B. Davies, Spectral theory and differential operators, Cambridge University Press, 1995.
[2] A. Henrot, Extremum problems for eigenvalues of elliptic operators, Frontiers in Mathematics, Birkhäuser, Basel, 2006.
[3] M. Reed and B. Simon, Methods of modern mathematical physics, I?IV, Academic Press, New York, 1972?1978.
Doporučená literatura:
[1] W. O. Amrein, A. Boutet de Monvel and V. Georgescu, C0 -groups, commutator methods and spectral theory of N-body Hamiltonians, Progress in Math. Ser., vol. 135, Birkhäuser, 1996.
[2] D. E. Edmunds and W. D. Evans, Spectral theory and differential operators, Oxford University Press, 1987.
[3] L. C. Evans, Partial Differential Equations, Amer. Math. Soc., 2010.
- Poznámka:
- Další informace:
- Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje
- Předmět je součástí následujících studijních plánů:
-
- Matematické inženýrství (volitelný předmět)