Parciální diferenciální rovnice

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

ústav technické matematiky

Anotace:

Principy matematického modelování pomocí parciálních diferenciálních rovnic (PDR) a základy klasické a moderní teorie PDR. Moderní teorie je ilustrována na PDR 2. řádu eliptického typu a na PDR, vyskytujících se v matematických modelech užívaných v mechanice tekutin.

Požadavky:

Osnova přednášek:

1. Principy užití PDR při popisu stavů a procesů v kontinuu. Postup odvození transportní rovnice, rovnice vedení tepla a rovnice kontinuity.

2. Postup odvození Navierových-Stokesových rovnic, vlnové rovnice, Lamého rovnic a Maxwellových rovnic.

3. Užití Laplaceovy a Poissonovy rovnice v matematických modelech.

4. PDR 1. řádu - formulace počáteční nebo okrajové úlohy, princip analytického řešení.

5. Harmonické funkce a jejich vlastnosti (věta o střední hodnotě, princip maxima).

5. Úvod do klasické teorie PDR eliptického typu, Laplaceova a Poissonova rovnice, význam objemového potenciálu, potenciálu jednoduché vrstvy a potenciálu dvouvrstvy.

6. Úvod do klasické teorie PDR parabolického typu, rovnice vedení tepla, princip maxima, Fourierova metoda.

7. Úvod do klasické teorie PDR hyperbolického typu, vlnová rovnice, charakteristiky, oblast závislosti a oblast ovlivnění, Fourierova metoda.

8. Principy moderní teorie PDR. Distribuce a jejich derivace, zobecněná derivace.

9. Lebesgueův prostor L{2} a Sobolevův prostor W{1,2}. Skalární součin a norma v těchto prostorech.

10. Věta o stopách v prostoru W{1,2}. Zobecněná okrajová úloha pro eliptickou rovnici 2. řádu, slabé řešení.

11. Existence a jednoznačnost slabého řešení. Ekvivalence s variační úlohou nalezení minima kvadratického funkcionálu.

12. Galerkinova a Ritzova metoda přibližného řešení.

13. Slabá formulace počáteční-okrajové úlohy pro Navierovy-Stokesovy rovnice. Konstrukce aproximací.

14. Konvergence aproximací, existence slabého řešení, energetická nerovnost.

Osnova cvičení:

1. Principy užití PDR při popisu stavů a procesů v kontinuu. Postup odvození transportní rovnice, rovnice vedení tepla a rovnice kontinuity.

2. Postup odvození Navierových-Stokesových rovnic, vlnové rovnice, Lamého rovnic a Maxwellových rovnic.

3. Užití Laplaceovy a Poissonovy rovnice v matematických modelech.

4. PDR 1. řádu - formulace počáteční nebo okrajové úlohy, princip analytického řešení.

5. Harmonické funkce a jejich vlastnosti (věta o střední hodnotě, princip maxima).

5. Úvod do klasické teorie PDR eliptického typu, Laplaceova a Poissonova rovnice, význam objemového potenciálu, potenciálu jednoduché vrstvy a potenciálu dvouvrstvy.

6. Úvod do klasické teorie PDR parabolického typu, rovnice vedení tepla, princip maxima, Fourierova metoda.

7. Úvod do klasické teorie PDR hyperbolického typu, vlnová rovnice, charakteristiky, oblast závislosti a oblast ovlivnění, Fourierova metoda.

8. Principy moderní teorie PDR. Distribuce a jejich derivace, zobecněná derivace.

9. Lebesgueův prostor L{2} a Sobolevův prostor W{1,2}. Skalární součin a norma v těchto prostorech.

10. Věta o stopách v prostoru W{1,2}. Zobecněná okrajová úloha pro eliptickou rovnici 2. řádu, slabé řešení.

11. Existence a jednoznačnost slabého řešení. Ekvivalence s variační úlohou nalezení minima kvadratického funkcionálu.

12. Galerkinova a Ritzova metoda přibližného řešení.

13. Slabá formulace počáteční-okrajové úlohy pro Navierovy-Stokesovy rovnice. Konstrukce aproximací.

14. Konvergence aproximací, existence slabého řešení, energetická nerovnost.

Cíle studia:

Studijní materiály:

- J.Fořt, J.Neustupa: Parciální diferenciální rovnice. Skriptum Fakulty strojní, Ediční středisko ČVUT, Praha 2004.

- L.C.Evans: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, series „Graduate Studies in Mathematics“, Vol. 19, New York 1997.

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů: