Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic, základy metody konečných prvků

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

ústav technické matematiky

Anotace:

Matematická teorie metody konečných prvků. Vektorový, Banachův a Hilbertův prostor. Metrika, norma, lineární forma, bilineární forma, skalární součin. Holderova a Cauchyho nerovnost. Lax-Milgramova věta. L2 a Lp prostory, oblast se spojitou hranicí, s Lipschitzovsky spojitou hranicí. Prostory H1 a Wkp. Věty o vnoření, věty o stopách, nerovnost Poincare-Friedrichsova. Greenova věta. Věta o substituci. Duální prostor, reflexivita.

Základní princip metody konečných prvků. Ukázka použití v jednorozměrné eliptické úloze. Souvislost slabého a klasického řešení. Odhady chyb. Abstraktní variační formulace. Ritzova formulace. Galerkinova formulace. Věta o ekvivalenci. Existence a jednoznačnost řešení. Diskrétní Ritzova a Galerkinova formulace. Existence diskrétního řešení (vlastnosti matice tuhosti). Abstraktní odhad chyby.

Aplikace MKP na dvourozměrnou úlohu: Dirichletova úloha s homogenní okrajovou podmínkou. Slabá formulace. Řešení na jednoduché oblasti pomocí lineárních konečných prvků. Výpočet a sestavení matice tuhosti. Slabá formulace 2D problémů s různými okrajovými podmínkami: Dirichletovy, Neumannovy okr. podmínky. Vlastnosti slabé formulace. Konstrukce prostoru konečných prvků a volba báze. Matice tuhosti prvku a globální matice tuhosti; podstata algoritmizace, zobrazení na referenční trojúhelník, sestavení globální matice tuhosti.

Řešení diskrétní úlohy - soustavy lineárních rovnic. Přímé metody. Iterační metody. Gradientní metody. Předpodmiňování.

Aplikace metody konečných prvků: rovnice vedení tepla, vlnová rovnice, problém konvekce-difuze, lineární problém pružnosti, Stokesův problém a Navierovy-Stokesovy rovnice.

Požadavky:

Osnova přednášek:

1.- 3. Základní vlastnosti metody konečných diferencí pro parciální diferenciální rovnice.

4.- 6. Variační formulace okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice, slabé řešení,

matematické základy metody konečných prvků (MKP).

7.- 9. MKP pro eliptické, parabolické a hyperbolické rovnice. Příklady v 1D, 2D.

10.- 12. Algoritmizace v MKP. Ověřovací příklady pro individuální zpracování.

13.- 14. MKP pro nelineární úlohy. Software pro MKP. Ukázka aplikace MKP.

Osnova cvičení:

1.- 3. Základní vlastnosti metody konečných diferencí pro parciální diferenciální rovnice.

4.- 6. Variační formulace okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice, slabé řešení,

matematické základy metody konečných prvků (MKP).

7.- 9. MKP pro eliptické, parabolické a hyperbolické rovnice. Příklady v 1D, 2D.

10.- 12. Algoritmizace v MKP. Ověřovací příklady pro individuální zpracování.

13.- 14. MKP pro nelineární úlohy. Software pro MKP. Ukázka aplikace MKP.

Cíle studia:

Matematická teorie metody konečných prvků. Vektorový, Banachův a Hilbertův prostor. Metrika, norma, lineární forma, bilineární forma, skalární součin. Holderova a Cauchyho nerovnost. Lax-Milgramova věta. L2 a Lp prostory, oblast se spojitou hranicí, s Lipschitzovsky spojitou hranicí. Prostory H1 a Wkp. Věty o vnoření, věty o stopách, nerovnost Poincare-Friedrichsova. Greenova věta. Věta o substituci. Duální prostor, reflexivita.

Základní princip metody konečných prvků. Ukázka použití v jednorozměrné eliptické úloze. Souvislost slabého a klasického řešení. Odhady chyb. Abstraktní variační formulace. Ritzova formulace. Galerkinova formulace. Věta o ekvivalenci. Existence a jednoznačnost řešení. Diskrétní Ritzova a Galerkinova formulace. Existence diskrétního řešení (vlastnosti matice tuhosti). Abstraktní odhad chyby.

Aplikace MKP na dvourozměrnou úlohu: Dirichletova úloha s homogenní okrajovou podmínkou. Slabá formulace. Řešení na jednoduché oblasti pomocí lineárních konečných prvků. Výpočet a sestavení matice tuhosti. Slabá formulace 2D problémů s různými okrajovými podmínkami: Dirichletovy, Neumannovy okr. podmínky. Vlastnosti slabé formulace. Konstrukce prostoru konečných prvků a volba báze. Matice tuhosti prvku a globální matice tuhosti; podstata algoritmizace, zobrazení na referenční trojúhelník, sestavení globální matice tuhosti.

Řešení diskrétní úlohy - soustavy lineárních rovnic. Přímé metody. Iterační metody. Gradientní metody. Předpodmiňování.

Aplikace metody konečných prvků: rovnice vedení tepla, vlnová rovnice, problém konvekce-difuze, lineární problém pružnosti, Stokesův problém a Navierovy-Stokesovy rovnice.

Studijní materiály:

P. Sváček and M. Feistauer. Metoda konečných prvků. Vydavatelství ČVUT, Praha, 2006.

C.Johnson: Numerical Solution of Partial Differential Equation by the Finite Element Method, Cambridge University Press, 1987

S.Míka, P.Přikryl: Numerické metody řešení parciálních diferenciálních rovnic, ZČU, Plzeň, 1995

E.Vitásek: Numerické metody, SNTL, Praha, 1987

Poznámka:

-DOKI-Předmět určen pro doktorandské studium

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů: