Úvod do teorie semigrup

Garant předmětu:

Václav Klika

Přednášející:

Václav Klika

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Pro systém lineárních obyčejných diferenciálních rovnic je známo, že řešení je získatelné ve tvaru exponenciely matice. Rozšíření na parciální diferenciální rovnice však není přímočaré. Např. pro vedení tepla je matice nahrazena Laplaceovým operátorem, který je neomezený a exponenciální řada tedy ani nekonverguje. Navíc řešení lineární rovnice vedení tepla obecně existují jen dopředu v čase, a tedy řešící operátor může být maximálně semigrupou. Cílem předmětu je poskytnout matematický základ pro tento typ problémů a rozšířit pojem stability z obyčejných diferenciálních rovnic, který opět bude dán do souvislosti se spektrem lineárního operátoru.

Požadavky:

Znalosti základů funkcionální analýzy (01FA1, 01FA2), rovnic matematické fyziky (01RMF) a moderní teorie parciálních diferenciálních rovnic (01PDR).

Osnova přednášek:

1. Exponenciála matice, omezeného operátoru a možná rozšíření na neomezené operátory.

2. Silně spojité semigrupy.

3. Stejnoměrně spojité semigrupy.

4. Analytické semigrupy.

5. Generátory semigrup.

6. Hille-Yoshida teorém.

7. Lumer-Phillips teorém.

8. Koncepty stability.

9. Aplikace na vybrané problémy: souvislost spektra a stability, exponenciála neomezeného operátoru.

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Znalosti: Teorie semigrup a její aplikace pro studium stability řešení parciálních diferenciálních operátorů (vč. souvislosti se spektrem).

Schopnosti: Nalezení exponenciály omezených a neomezených operátorů

Studijní materiály:

Povinná literatura

1. K J Engel, R Nagl, A Short: Course on Operator Semigroups, Springer, New York, 2006.

2. A. Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer, New York, 1983.

Doporučená literatura

3. L C Evans: Partial Differential Equations, 2nd ed., Amer. Mat. Soc., Providence, 2010.

4. J A Goldstein: Semigroups of Linear Operators and Applications, Second Edition, Courier Dover Publications, 2017.

Poznámka:

nahrazuje 01TPG kvůli změně kreditů

Rozvrh na zimní semestr 2023/2024:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2023/2024:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Aplikovaná algebra a analýza (povinný předmět programu)
• Matematické inženýrství (volitelný předmět)
• Matematická informatika (volitelný předmět)