Pokročilé partie numerické lineární algebry

Garant předmětu:

Jiří Mikyška

Přednášející:

Jiří Mikyška

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Reprezentace reálných čísel v počítači, chování zaokrouhlovacích chyb při aritmetických operacích, citlivost úlohy,

numerická stabilita algoritmu. Bude analyzována citlivost vlastních čísel matic a citlivost řešení soustav lineárních

algebraických rovnic. Následovat bude zpětná analýza těchto úloh. Ve druhé části přednášky budou probrány metody

QR rozkladu matic, metoda nejmenších čtverců, některé moderní krylovovské metody pro řešení soustav rovnic a

Lanczosova metoda pro aproximaci vlastních čísel symetrické matice.

Požadavky:

Osnova přednášek:

Osnova:

1. Úvod, základní pojmy, reprezentace čísel v počítači

2. Standardní aritmetika IEEE, vliv zaokrouhlovacích chyb při výpočtech v aritmetice s konečnou přesností, přímá a

zpětná analýza algoritmu

3. Podobnostní transformace, Schurova věta, měření vzdáleností spekter matic

4. Věta o citlivosti spekter obecných matic

5. Citlivost vlastních čísel diagonálních a normálních matic, zpětná analýza problému vlastních čísel

6. Citlivost řešení soustav lineárních algebraických rovnic, zpětná analýza řešení soustav lineárních algebraických

rovnic

7. QR-rozklady matic a ortogonální transformace

8. Householderova transformace

9. Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces, metoda nejmenších čtverců

10. Metody Krylovových podprostorů - úvod, Arnoldiho algoritmus, metoda zobecněných minimálních reziduí pro

řešení soustav rovnic

11. Lanczosův algoritmus, aproximace vlastních čísel symetrické matice

12. Přehled metod Krylovových podprostorů pro řešení soustav rovnic

13. Předpodmiňování iteračních metod, příklady jednoduchých předpodmínění

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] J. Liesen, Z. Strakoš, Krylov Subspace Methods, Principles and Analysis, Oxford University Press, 2013

[2] M.A. Olshanskii, E.E. Tyrtyshnikov: Iterative Methods for Linear Systems, Theory and Applications, SIAM 2014.

[3] J. Drkošová, Z. Strakoš: Úvod do teorie citlivosti a stability v numerické lineární algebře, skripta ČVUT Praha,

1997.

Doporučená literatura:

[4] D.S. Watkins: The Matrix Eigenvalue Problem: GR and Krylov Subspace Methods, SIAM 2007.

[5] H. van der Vorst: Iterative Krylov Methods for Large Linear Systems, Cambridge University Press, 2003.

[6] Y. Saad: Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems, SIAM 2011.

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Aplikovaná algebra a analýza (volitelný předmět)
• Aplikace informatiky v přírodních vědách (volitelný předmět)
• Matematické inženýrství (povinný předmět programu)
• Matematická informatika (volitelný předmět)