Matematické aspekty kvantové fyziky s nesamosdruženými operátory

Garant předmětu:

David Krejčiřík

Přednášející:

David Krejčiřík

Cvičící:

David Krejčiřík

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Předmět je motivován novým konceptem v kvantové mechanice, kdy jsou fyzikální pozorovatelné reprezentovány nesamosdruženými operátory. Cílem přednášky je seznámit studenty s matematickými výzvami spektrální teorie lineárních diferenciálních operátorů v situacích, kdy spektrální teorém a variační principy nejsou k dispozici.

Požadavky:

Osnova přednášek:

1. Motivace. Kvazi-hermitovská a pseudo-hermitovská kvantová mechanika. Otevřené systémy.2. Uzavřené operátory na Hilbertových prostorech. Bodová, spojitá a reziduální spektra. Numerický obor hodnot. Normální, symetrické and komplexně symetrické operátory, fyzikální symetrie.3. Definitice Schrödingerových operátorů s komplexními potenciály coby uzavřených operátorů na Hilbertově prostoru. Sektoriální operátory a kvadratické formy. Akretivní operátory a Kato nerovnost. Neakretivní operátory.4. Kompaktnost a diskrétní spektra, operátory s kompaktní rezolventou. Fredholmovy operátory a rozličné definice esenciálního spektra. Stabilita esenciálního spektra.5. Spektrální analýza. Nerovnosti Lieb-Thirringova typu pro Schrödingerovy operátory s komplexnímim potenciály. Metoda násobitelů.6. Podobnost k normálním a samosdruženým operátorům. Kvazi-samosdružené operátory. Bazické vlastnosti vlastních funkcí.7. Pseudospektrální analýza. Přibližné vlastní hodnoty a vlastní funkce. Mikrolokální metody. WKB konstrukce pseudomódů

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Studijní materiály:

Povinná literatura:

1.D. Krejčiřík and P. Siegl: Elements of Spectral Theory without the Spectral Theorem, in „Non-Selfadjoint Operators in Quantum Physics: Mathematical Aspects“, F. Bagarello, J.-P. Gazeau, F. H. Szafraniec, and M. Znojil, Eds., Wiley-Interscience, 2015.

2.T. Kato: Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, Berlin, 1966.

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů: