Geometrické aspekty spektrální teorie
Kód | Zakončení | Kredity | Rozsah |
---|---|---|---|
01SPEC | ZK | 2 | 2+0 |
- Garant předmětu:
- David Krejčiřík
- Přednášející:
- David Krejčiřík
- Cvičící:
- Předmět zajišťuje:
- katedra matematiky
- Anotace:
-
1. Motivace. Krize klasické fyziky a nástup kvantové mechaniky. Matematická formulace kvantové teorie. Spektrální problémy v klasické fyzice.
2. Elementy funkcionální analýzy. Diskrétní a esenciální spektra. Sobolevovy prostory. Kvadratické formy. Schrödingerovy operátory.
3. Stabilita esenciálního spektra. Weylův teorém. Vázané stavy. Variační a poruchové metody.
4. Role dimenze euklidovského prostoru. Kritikalita versus subkritikalita. Hardyho nerovnost. Stabilita hmoty.
5. Geometrické aspekty. Glazmanova klasifikace eukleidovských oblastí a jejich základní spektrální vlastnosti.
6. Vibrační systémy. Symetrické přerovnání a Faber-Krahnova nerovnost pro základní frekvenci.
7. Kvantové vlnovody. Elementy diferenciální geometrie: křivky, plochy, variety. Efektivní dynamika.
8. Geometrií indukované vázané stavy a Hardyho nerovnosti v trubicích.
- Požadavky:
- Osnova přednášek:
- Osnova cvičení:
- Cíle studia:
-
Znalosti: Cílem přednášky je seznámit studenty se spektrálními metodami v teorii lineárních diferenciálních operátorů pocházejících jak z klasické, tak moderní fyziky, se speciálním důrazem na geometrií indukované spektrální vlastnosti.
Schopnosti: Zvládnutí pokročilých metod spektrální teorie samosdružených operátorů; variační techniky, parciální diferenciální rovnice, geometrická analýza, Sobolevovy prostory.
- Studijní materiály:
-
Povinná literatura:
[1] B. Davies, Spectral theory and differential operators, Cambridge University Press, 1995.
[2] A. Henrot, Extremum problems for eigenvalues of elliptic operators, Frontiers in Mathematics, Birkhäuser, Basel, 2006.
[3] M. Reed and B. Simon, Methods of modern mathematical physics, I?IV, Academic Press, New York, 1972?1978.
Doporučená literatura:
[1] W. O. Amrein, A. Boutet de Monvel and V. Georgescu, C0 -groups, commutator methods and spectral theory of N-body Hamiltonians, Progress in Math. Ser., vol. 135, Birkhäuser, 1996.
[2] D. E. Edmunds and W. D. Evans, Spectral theory and differential operators, Oxford University Press, 1987.
[3] L. C. Evans, Partial Differential Equations, Amer. Math. Soc., 2010.
- Poznámka:
- Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:
- Rozvrh není připraven
- Rozvrh na letní semestr 2024/2025:
- Rozvrh není připraven
- Předmět je součástí následujících studijních plánů:
-
- Aplikovaná algebra a analýza (volitelný předmět)
- Matematická fyzika (volitelný předmět)
- Matematické inženýrství (volitelný předmět)