Geometrické aspekty spektrální teorie

Garant předmětu:

David Krejčiřík

Přednášející:

David Krejčiřík

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

1. Motivace. Krize klasické fyziky a nástup kvantové mechaniky. Matematická formulace kvantové teorie. Spektrální problémy v klasické fyzice.

2. Elementy funkcionální analýzy. Diskrétní a esenciální spektra. Sobolevovy prostory. Kvadratické formy. Schrödingerovy operátory.

3. Stabilita esenciálního spektra. Weylův teorém. Vázané stavy. Variační a poruchové metody.

4. Role dimenze euklidovského prostoru. Kritikalita versus subkritikalita. Hardyho nerovnost. Stabilita hmoty.

5. Geometrické aspekty. Glazmanova klasifikace eukleidovských oblastí a jejich základní spektrální vlastnosti.

6. Vibrační systémy. Symetrické přerovnání a Faber-Krahnova nerovnost pro základní frekvenci.

7. Kvantové vlnovody. Elementy diferenciální geometrie: křivky, plochy, variety. Efektivní dynamika.

8. Geometrií indukované vázané stavy a Hardyho nerovnosti v trubicích.

Požadavky:

Osnova přednášek:

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Znalosti: Cílem přednášky je seznámit studenty se spektrálními metodami v teorii lineárních diferenciálních operátorů pocházejících jak z klasické, tak moderní fyziky, se speciálním důrazem na geometrií indukované spektrální vlastnosti.

Schopnosti: Zvládnutí pokročilých metod spektrální teorie samosdružených operátorů; variační techniky, parciální diferenciální rovnice, geometrická analýza, Sobolevovy prostory.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] B. Davies, Spectral theory and differential operators, Cambridge University Press, 1995.

[2] A. Henrot, Extremum problems for eigenvalues of elliptic operators, Frontiers in Mathematics, Birkhäuser, Basel, 2006.

[3] M. Reed and B. Simon, Methods of modern mathematical physics, I?IV, Academic Press, New York, 1972?1978.

Doporučená literatura:

[1] W. O. Amrein, A. Boutet de Monvel and V. Georgescu, C0 -groups, commutator methods and spectral theory of N-body Hamiltonians, Progress in Math. Ser., vol. 135, Birkhäuser, 1996.

[2] D. E. Edmunds and W. D. Evans, Spectral theory and differential operators, Oxford University Press, 1987.

[3] L. C. Evans, Partial Differential Equations, Amer. Math. Soc., 2010.

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Aplikovaná algebra a analýza (volitelný předmět)
• Matematická fyzika (volitelný předmět)
• Matematické inženýrství (volitelný předmět)