Úvod do riemannovské geometrie

Garant předmětu:

David Krejčiřík

Přednášející:

David Krejčiřík

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Tato přednáška je určena pro studenty s pokročilejšími znalostmi, kteří již případně (avšak ne nezbytně) absolvovali základní kurz o topologických a diferenciálních varietách. Kromě pochopení geometrického významu křivosti a jejího blízkého vztah k topologii si student osvojí základní aparát Riemannovy geometrie, jenž se mu bude hodit k dalšímu studiu moderních partií matematiky a matematické fyziky. Geometrická analýza parciálních diferenciálních rovnic na Riemannových varietách je jedním z možných pokračování této přednášky.

Požadavky:

Základní kurz analýzy na varietách vítán, avšak nevyžadován.

Osnova přednášek:

1. Motivace. Pojem křivosti v klasické teorii křivek a ploch.

2. Připomenutí základních nástrojů. Tenzory, variety a tečné prostory.

3. Riemannova metrika. Objemový element a integrování. Modelové prostory s konstantní křivostí.

4. Konexe. Kovariantní derivace tenzorových polí. Paralelní přenos podél křivek. Geodetiky.

5. Riemannovy geodetiky. Levi-Civitova konexe. Exponenciální zobrazení. Normální souřadnice. Geodetiky na modelových prostorech.

6. Geodetiky a vzdálenost. Geodetiky coby křivky minimalizující délku. První variace. Gaussovo lemma. Úplnost a Hopf-Rinow teorém.

7. Křivost. Lokální invarianty Riemannovy metriky. Tenzor křivosti. Ploché variety. Ricciho a skalární křivosti.

8. Riemannovy podvariety. Druhá fundamentální forma. Nadplochy v eukleeidovském prostoru, Gaussova křivost a Theorema Egregium. Sekcionální křivosti.

9. Gauss-Bonnetova věta. Umlaufsatz a Gauss-Bonnetova formule. Eulerova charakteristika topologické variety.

10. Jacobiho pole. Jacobiho rovnice. Konjugované body. Druhá variace.

11. Křivost a topologie. Srovnávací věty. Cartan-Hadamardova a Bonnetova věta.

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Schopnosti:

Osvojení si základního aparátu Riemannovy geometrie, který se bude hodit k dalšímu studiu moderních partií matematiky a matematické fyziky. Samostatným cílem přednášky je pochopení geometrického významu křivosti a jejího blízkého vztahu k topologii.

Dovednosti:

Rutinní práce s tenzorovým a variačním počtem na varietách, výpočet konexe a tenzoru křivosti z metrického tenzoru, řešení diferenciálních rovnic pro geodetiky a Jacobiho pole, integrace na varietách.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

1. J. M. Lee, Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Springer, 1997.

Doporučená literatura:

2. M. P. do Carmo, Riemannian geometry, Birkhauser 1992.

3. O. Kovalski, Úvod do Riemannovy geometrie, Univerzita Karlova, 1995.

4. M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Volumes I-V, Publish or Perish, 1999.

5. P. Petersen: Riemannian Geometry. Springer, 2016.

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2023/2024:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2023/2024:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Aplikovaná algebra a analýza (povinný předmět programu)
• Matematické inženýrství (volitelný předmět)