Moderní teorie parciálních diferenciálních rovnic

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Sobolevovy prostory, věty o spojitém a kompaktním vnoření, věta o stopě.

Eliptické PDR druhého řádu, Lax-Milgramova věta, regularita, princip maxima, harmonické funkce.

Požadavky:

Základní znalosti z teorie distribucí a funkcionální analýzy.

Osnova přednášek:

1. Sobolevovy prostory

1.1 Definice, úplnost, příklady

1.2 Věty o spojitém a kompaktním vnoření

1.3 Věta o stopě

2. Slabé řešení (význam, odvození slabé formulace)

3. Eliptické PDR druhého řádu

3.1 Existence a jednoznačnost slabého řešení (Lax-Milgramova věta)

3.2 Regularita slabého řešení

3.3 Souvislost s variačním počtem, Poincarého nerovnost

3.4 Princip maxima pro klasická i slabá řešení

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Znalosti: důležité poznatky o Sobolevových prostorech; pojem slabého řešení a jeho význam; věty o existenci, jednoznačnosti a regularitě slabého řešení eliptické parciální diferenciální rovnice (PDR) druhého řádu; princip maxima

Schopnosti: odvození slabé formulace, porozumění souvislosti s klasickou teorií, schopnost dalšího samostudia (například evolučních rovnic)

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] Tušek M.: Poznámky k předmětu „Moderní teorie parciálních diferenciálních rovnic“ (http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/~tusekmat/download/pdr/pdr_poznamky_v1.pdf)

[2] Evans L.C.: Partial Differential Equations, 2nd ed., American Mathematical Society, 2010.

[3] Rokyta M., John O., Málek J., Pokorný M., Stará J.: Úvod do moderní teorie parciálních diferenciálních rovnic (http://www.karlin.mff.cuni.cz/~mbul8060/moderni_teorie.pdf), 2009.

Doporučená literatura:

[3] Protter M.H., Weinberger H.F.: Maximum Principles in Differential Equations, Springer, 1984.

[4] Gilbarg D., Trudinger N.S.: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, 2001 (reprint).

[5] Adams R.A.: Sobolev Spaces, Academic Press, 1975.

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Matematické inženýrství (volitelný předmět)